零测度集的任何子集都是可测集。()
A.正确
B.错误
A.正确
B.错误
第1题
设(X,,μ)是测度空间,A是可测集且μ(A)>O.若对A的每个可测子集E,要么有μ(E)=0,要么有μ(A\E)=0,则称A是一个原子.若(X,,μ)没有原子,则称它为非原子测度空间.
第2题
设(X,,μ)是测度空间,其中X是局部紧的σ-紧的Hausdorff空间,拓扑为τX,,μ是正则的且对X的任何紧集K有μ(K)<∞(注意就是这样的空间).设(Y,τY)为拓扑空间,f:X→X连续,且对任意零测集A,f-1(A)可测;g:X→Y可测.证明复合映射gf:X→Y可测.
第3题
试证明:
设μ*是定义在Rn上的一种外测度,若任一Borel集都是μ*可测集,则μ*是距离外测度.
第4题
设(X,,μ)=(Y,,ν)对应于勒贝格测度的单位区间这样的测度空间,E足X×Y中适合下述条件的集:对每个x与每个y,Ex与X-Ey都是可列集。那么,E是不可测的。
第5题
设X是一个不可数集,是X中所有使E或Ec至多是可列的子集_E所作成的集族.若E至多可列,定义μ(E)=0;若Ec至多可列,定义,μ(E)=1.证明是X上的σ-代数,μ是上的一个测度。
第6题
设A为Hilbert空间H上的紧算子,δ>0。求证:
(a)设M为H的线性无关子集,且M中元都是满足k|>δ的特征值k所对应的特征向量。则M必为有限集。
(b)若k为A的非零特征值,则其对应的特征空间必为有限维的。
(c)A仅有可数个不同的特征值。
第7题
函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集。()
第10题
试证明:
设是可测集列,若,则对任给的ε>0,存在[0,1]中可测子集A,使得m([0,1]\A)<ε,且有
.
第11题
设是(0,1)内所有Lebesgue可测集的σ-代数,λ是Lebesgue测度,μ是上的计数测度.证明:不存在h∈L1(μ)使λ(E)=hdμ,.