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[主观题]

试证明：设μ是定义在Rn上的一种外测度，若任一Borel集都是μ可测集，则μ*是距离外测度．

试证明：

设μ^*是定义在Rⁿ上的一种外测度，若任一Borel集都是μ^*可测集，则μ^*是距离外测度．

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发布时间：2022-12-04

更多“试证明：设μ*是定义在Rn上的一种外测度，若任一Borel集都是μ*可测集，则μ*是距离外测度．”相关的问题

第1题

设f（x)是定义在上的连续函数，对任意的t∈R1，令Et={x∈E：f（x)＞t}，试证明存在Rn中包含E的开集Gt，使得Et=E∩Gt．

设f(x)是定义在（－∞,a）上的连续函数，对任意的t∈R¹，令TE_t={x∈E：f(x)＞t}，试证明存在Rⁿ中包含E的开集TG_t，使得E_t=E∩G_t．

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第2题

设K（x，y)是Rn×Rn上的可测函数，且有，a.e.X∈Rn；，a.e.x∈Rn，令，试证明Tf∈Lp（Rn)，且‖Tf‖p≤C‖f‖p（f∈Lp（Rn)．

设K(x，y)是Rⁿ×Rⁿ上的可测函数，且有

，a.e.X∈Rⁿ；

，a.e.x∈Rⁿ，

令，试证明Tf∈L^p(Rⁿ)，且‖Tf‖_p≤C‖f‖_p(f∈L^p(Rⁿ)．

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第3题

试证明：设fk（x)（k=1,2，…)是Rn上非负可积函数列，若对任一可测集，都有（k=1,2，…)， .

试证明：

设f_k(x)(k=1,2，…)是Rⁿ上非负可积函数列，若对任一可测集，都有

(k=1,2，…)，

.

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第4题

试证明：设（k∈N)是可测集，m（Ek)→0（k→∞)．若f∈L（Rn)，则.

试证明：

设(k∈N)是可测集，m(E_k)→0(k→∞)．若f∈L(R_n)，则.

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第5题

试证明：设是可测集，x0∈Rn，则E+{x0}是可测集，且 m（E+{x0})=m（E)．（可测集的平移不变性)

试证明：

设是可测集，x₀∈Rⁿ，则E+{x₀}是可测集，且

m(E+{x₀})=m(E)． (可测集的平移不变性)

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第6题

试证明：设f（x)是定义在（0，1]上的实值函数，则必存在可测函数g（x)与h（x)，使得 f（x)=g[h（x)]，x∈（0，1].

试证明：

设f(x)是定义在(0，1]上的实值函数，则必存在可测函数g(x)与h(x)，使得

f(x)=g[h(x)]，x∈(0，1].

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第7题

设是凸开集，g:D→Rn在x0是可微函数，且满足:对任何x∈D和任何非零的h∈Rn,恒有 hTg'（x)h＞0. 试证明g在D上

设是凸开集，g:D→Rⁿ在x₀是可微函数，且满足:对任何x∈D和任何非零的h∈R_n,恒有

h^Tg'(x)h＞0.

试证明g在D上是一一映射.

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第8题

试证明：若G是Rn中的开集且f（x)定义在G上，则对任意的t∈R1，点集 H={x∈G：ωf（x)＜r} 是开集．

试证明：

若G是Rⁿ中的开集且f(x)定义在G上，则对任意的t∈R¹，点集

H={x∈G：ω_f(x)＜r}

是开集．

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第9题

试证明：假设f（x)定义在Rn上，如果对于任意的ε＞0，存在g，h∈L（Rn)，满足g（x)≤f（x)≤h（x)（x∈Rn)，且使得，则f∈

试证明：

假设f(x)定义在Rⁿ上，如果对于任意的ε＞0，存在g，h∈L(Rⁿ)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)(x∈Rⁿ)，且使得

，

则f∈L(Rⁿ)．

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第10题

试证明：若，则χE（x)是Rn上的可测函数．

试证明：

若，则χ_E(x)是Rⁿ上的可测函数．

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第11题

设R是有限集X上的二元关系，定义 R+=R∪R2∪…∪Rn∪…，证明：

设R是有限集X上的二元关系，定义

R⁺=R∪R²∪…∪Rⁿ∪…，

证明：

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