设A,B是两个实对称矩阵,试证:存在正交矩阵Q,使Q-1AQ=B的充分必要条件是A与B有相同的特征值.
设A,B是两个实对称矩阵,试证:存在正交矩阵Q,使Q-1AQ=B的充分必要条件是A与B有相同的特征值.
设A,B是两个实对称矩阵,试证:存在正交矩阵Q,使Q-1AQ=B的充分必要条件是A与B有相同的特征值.
第2题
复方阵Q称为酉矩阵,是指Q满足QQH=QHQ=E,或Q-1=QH(其中QH表示方阵Q的共轭转置矩阵,即.显然实的酉矩阵就是正交矩阵).方阵未必相似于对角矩阵,但任何方阵总相似于上三角矩阵,这就是舒尔定理.
舒尔(Scher)定理:对于复方阵A,总存在酉矩阵Q,使得Q-1AQ=QHAQ=B为上三角.矩阵,且B的主对角线上元素是A的全部特征值.
试利用舒尔定理证明:设n阶方阵A的全部特征值为λ1,λ2,…,λn;f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0为一多项式,则方阵f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E的全部特征值为f(λ1),f(λ2),…,f(λn).
第6题
设A为n阶正矩阵,若存在某个x∈Cn,x≥0,x≠0,Ax=λx,试证x为Perron向量的倍数且λ=γ(A).
第8题
设3阶实对称矩阵A的特征值为λ[sub1sub]=6,λ[sub2sub]=λ[sub3sub]=3,α[sub1sub]=(1,1,1)[supTsup]是属于λ[sub1sub]=6的特征向量.
第9题
A.A有实特征根,且与对角矩阵相似
B.若B1,B2是可交换的,则A有实特征根,且与对角矩阵相似
C.若B1,B2都对称,则A有实特征根,且与对角矩阵相似
D.ATA有实特征根,且与对角矩阵相似
第10题
设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是对称线性算子,且存在完全由T的特征向量构成的规范正交基,证明T是本质自共轭的.