设R是有理数域上的2阶方阵环,x是R上未定元,又 求f(x)用g(x)除所得的右商和右余式,并指出其右
设R是有理数域上的2阶方阵环,x是R上未定元,又
求f(x)用g(x)除所得的右商和右余式,并指出其右商≠左商,右余式≠左余式.
设R是有理数域上的2阶方阵环,x是R上未定元,又
求f(x)用g(x)除所得的右商和右余式,并指出其右商≠左商,右余式≠左余式.
第1题
设f(r,φ)是一个在圆域0≤r≤R,0≤φ<2π上的连续函数,且是φ的周期函数,其周期为2π,又以C表属于上述圆域范围内的一条阿基米德螺旋曲线:r=aφ.试证:
[马歇尔一惠尔金斯]
第2题
设X是任意的一个(非空)集,R表示X的所有子集全体所成的环。在X中任意取定一个元a,然后在R上定义集函数μ如下:对任何E∈R,
第4题
f(x),g(x)在有理数域Q上有公根,则在实数域R上有公根.
f(x),g(x),在实数域R上有公根,则在有理数域Q上有公根.
第6题
设P:2是素数,Q:3是素数,R:是有理数,下列复合命题中是假命题的为哪一个?
(1)(P∨Q)→R; (2)R→(P∨Q);
(3)(P∧Q)→P; (4)(R∨P)Q.
第7题
证明若u=u(x,y,z)在有界闭域V上调和,S是V的边界面,
则
(x,y,z)∈V,(ξ,η,ζ)∈S,r={ξ-x,η-y,ζ-z),r=[r,n],是S上(ξ,η,ζ)点处的外法线单位向量.
第8题
复方阵Q称为酉矩阵,是指Q满足QQH=QHQ=E,或Q-1=QH(其中QH表示方阵Q的共轭转置矩阵,即.显然实的酉矩阵就是正交矩阵).方阵未必相似于对角矩阵,但任何方阵总相似于上三角矩阵,这就是舒尔定理.
舒尔(Scher)定理:对于复方阵A,总存在酉矩阵Q,使得Q-1AQ=QHAQ=B为上三角.矩阵,且B的主对角线上元素是A的全部特征值.
试利用舒尔定理证明:设n阶方阵A的全部特征值为λ1,λ2,…,λn;f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0为一多项式,则方阵f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E的全部特征值为f(λ1),f(λ2),…,f(λn).
第9题
设z∈L2(-π,π]且延拓z为R上的周期为2π的函数。若x∈L2[-π,π],设
求证:
(a)若为z的Fourier级数,则对x∈L2[-π,π]有
这个级数在[-π,π]上一致绝对收敛。
(b)A为紧算子。
(c)A的特征值由z的Fourier系数cn给出,其对应的特征函数为eins,n=0,±1,±2,…。
第10题
设(X,R,μ)是全σ有限测度空间,f(x)是X上可积函数,集函数
ν(E)=∫EFdμ, E∈R