设s为弧长,在R3中证明:(x,x,x)=k2τ
(x,x,x)=k2τ
(x,x,x)=k2τ
第3题
设Ω为开集,t0∈Ω,x(t):Ω→Lp[a,b],1<p<∞.证明x(t)=x(t)(s)(s∈[a,b])在t0弱连续的充要条件是‖x(t)‖在t0的某邻域内有界,且对每个η∈[a,b],
第5题
试证明:
设xsf(x),xsf(x)在(0,∞)上可积,其中s<t,则积分(u∈(s,t))存在且是u∈(s,t)的连续函数.
第6题
设x为Banach空间,在X'中。求证:{x'n}为X'中的有界列。证明在上面的结论中,X的完备性是必要的。
第7题
试证明:
(i)设且m(E)>1,则E中存在两点:P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),其中x2-x1∈Z,y2-y1∈Z(Z是整数集).
(ii)设是以原点(0,0)为中心的对称凸集,且m(S)>22,则S包含整数格点P=(x,y)≠(0,0).此外,又若存在n0∈N,使得m(S)>n0·22,则S至少包含2n0个整数格点.
第8题
设{Tt:t≥0}是C0[0,∞)上的平移半群,即
(Ttx)(s)=x(s+t),t≥0,x∈C0[0,∞).证明其中记号为n阶差分符号,有
,
第9题
设α∈Cc∞(Rn)使得0≤β≤1,(单位球),并且α(0)=1,又设(xj)是Rn的一列元素,满足|xj|+2≤|xj+1|定义
证明:r(x)∈S(Rn)
第10题
设f(x)=0在[a,b]上有根x*.根的第k次近似值为xk,且xk∈[a,b],证明
其中.
第11题
设f(x)在R上有定义,h>0为常数,称△hf(x)=f(x+h)-f(x)为f(x)的步长为h的一阶差分. (1)证明:△h[cf(x)]=c△hf(x)(c为常数), △h[f1(x)+f2(x)]=△hf1(x)+△hf2(x); (2)若定义△nhf(x)=△n[△n-1hf(x)],n=2,3,…是f(x)的步长为h的n阶差分,用数学归纳法证明: