设f(x)是定义在上的连续函数,对任意的t∈R1,令Et={x∈E:f(x)>t},试证明存在Rn中包含E的开集Gt,使得Et=E∩Gt.
设f(x)是定义在(-∞,a)上的连续函数,对任意的t∈R1,令TEt={x∈E:f(x)>t},试证明存在Rn中包含E的开集TGt,使得Et=E∩Gt.
设f(x)是定义在(-∞,a)上的连续函数,对任意的t∈R1,令TEt={x∈E:f(x)>t},试证明存在Rn中包含E的开集TGt,使得Et=E∩Gt.
第1题
试证明:
设f(x)在R1上可微.若对任意的λ∈R1,点集F={x∈R1:f'(x)=λ)总是闭集,则f'(x)是连续函数.
第6题
试证明:
设f(x,t)定义在(a,b)×(a,b)上,且对取定的t∈(a,b),f(x,t)是x在(a,b)上的连续可微函数;对取定的x∈(a,b),f(x,t)是t在(a,b)上的连续函数,若存在F∈L((a,b)),使得|f'x(x,t)|≤F(t),则在(a,b)上可微,且有.
第7题
求证定义在a≤x≤b上的任意一个连续函数f(x)可以由一串多项式来逼近它.亦即存在一个多项式序列{Gn(x)}使得Gn(x)→f(x)(n→∞),并且收敛性是一致的.[外斯脱拉士]
第9题
设f(x)为定义在[a,b]上的一个连续函数(或黎曼可积函数).令fvn=f(a+vδn),试证:
第10题
设X是任一集合,若对任意的x,y∈X,都存在一个实数与它们相对应,记作ρ(x,y),并且满足下列条件(称为距离公理):
(1)非负性ρ(x,y)≥0,且ρ(x,y)=0;
(2)对称性ρ(x,y)=ρ(y,x);
(3)三角不等式ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y)则称ρ(x,y)为x与y之间的距离,并称定义了距离的集合X为距离空间或度量空间,证明:n维Euclid空间Rn,连续函数空间C([a,b])与P方可和数列空间都是距离空间
第11题
令S为由下列条件所规范的空间区域:
S:x≥0,y≥0.z≥0,x+y+z≤h.又设F(u)为u的连续函数.试证:
此处α,β,γ为任意正数.[柳维尔]