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[主观题]

设f：Rn→R1，且对任意的ε＞0，存在开集，m（G)＜ε，使得f∈C（Rn＼G)，试证明f（x)是Rn上的可测函数．

设f：Rⁿ→R¹，且对任意的ε＞0，存在开集 $设f：Rn→R1，且对任意的ε＞0，存在开集，m（G)＜ε，使得f∈C（Rn＼G)，试证明f（x$ ，m(G)＜ε，

使得f∈C(Rⁿ＼G)，试证明f(x)是Rⁿ上的可测函数．

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发布时间：2022-12-04

更多“设f：Rn→R1，且对任意的ε＞0，存在开集，m（G)＜ε，使得f∈C（Rn＼G)，试证明f（x)是Rn上的可测函数．”相关的问题

第1题

设f（x)是定义在上的连续函数，对任意的t∈R1，令Et={x∈E：f（x)＞t}，试证明存在Rn中包含E的开集Gt，使得Et=E∩Gt．

设f(x)是定义在（－∞,a）上的连续函数，对任意的t∈R¹，令TE_t={x∈E：f(x)＞t}，试证明存在Rⁿ中包含E的开集TG_t，使得E_t=E∩G_t．

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第2题

设f：Rn→Rn可微，且f'在Rn上连续．若存在常数c＞0，使对一切x1，x2∈Rn，均有 ||f（x1)-f（x2)||≥c||x1-x1||.

设f：Rⁿ→Rⁿ可微，且f'在Rⁿ上连续．若存在常数c＞0，使对一切x₁，x₂∈Rⁿ，均有

||f(x₁)-f(x₂)||≥c||x₁-x₁||.

试证明:

(1) f是Rⁿ上的一一映射;

(2) 对一切x∈Rⁿ,||f'(x)||≠0.

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第3题

设f∈L（R1)，且令，则对任意的b＞0，均有F∈AC（[-b，b])，且以及．

设f∈L(R¹)，且令，则对任意的b＞0，均有F∈AC([-b，b])，且以及．

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第4题

试证明：若G是Rn中的开集且f（x)定义在G上，则对任意的t∈R1，点集 H={x∈G：ωf（x)＜r} 是开集．

试证明：

若G是Rⁿ中的开集且f(x)定义在G上，则对任意的t∈R¹，点集

H={x∈G：ω_f(x)＜r}

是开集．

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第5题

试证明：假设f（x)定义在Rn上，如果对于任意的ε＞0，存在g，h∈L（Rn)，满足g（x)≤f（x)≤h（x)（x∈Rn)，且使得，则f∈

试证明：

假设f(x)定义在Rⁿ上，如果对于任意的ε＞0，存在g，h∈L(Rⁿ)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)(x∈Rⁿ)，且使得

，

则f∈L(Rⁿ)．

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第6题

试证明：设f（x)是上的实值函数，则对任意的ε＞0，存在R1上可测函数g（x)和点集H：，使得 m*（E)=m*（H)，|f（x)-g（x

试证明：

设f(x)是上的实值函数，则对任意的ε＞0，存在R¹上可测函数g(x)和点集H：，使得

m^*(E)=m^*(H)，|f(x)-g(x)|＜ε，x∈H.

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第7题

若F∈AC（[-b，b])（任意的b＞0)，且，，则存在f∈L（R1)，使得.

若F∈AC([-b，b])(任意的b＞0)，且，，则存在f∈L(R¹)，使得.

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第8题

试证明：设fn∈L1（R1)（n=1，2，…)，且在R1上fn（x)几乎处处收敛于f（x)．则f∈L1（R1)以及当且仅当对任给ε＞0，存在：m

试证明：

设f_n∈L¹(R¹)(n=1，2，…)，且在R¹上f_n(x)几乎处处收敛于f(x)．则f∈L¹(R¹)以及当且仅当对任给ε＞0，存在：m(E)＜+∞，以及g(x)≥0，g∈L¹(R1)，自然数n₀，使得

，|f_n(x)|≤g(x) (n≥n₀，x∈E).

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第9题

设f（x)为Rn上的一个Cr函数（r≥1)，M={x∈Rn｜f（x)=0}≠∮，且对C1曲面MC R3，它为可定向曲面M上存在一个

C1曲面MC R3，它为可定向曲面

M上存在一个连续的单位法向量场．引理3．1．1是此题的高维推广，其证明参阅[7]第183页定理2或[8]第328页定理11．2．1

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第10题

设f（x)为Rn上的一个Cr函数（r≥1)，M={x∈Rn｜f（x)=0}≠∮，且对设M为R3中的一个2维Ck（k≥1)正则曲面，点P∈

设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面，点P∈M．证明：在M中存在P的一个开邻域U，使得U可用下列3种形式的Ck函数：2=f(x，y)， y=g(x，z)， x=h(y，z)中的一个确定为Ck曲面片．

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第11题

试证明f:Rn→R1是连续函数的充分必要条件是：对任意的，均有．

试证明f:Rⁿ→R¹是连续函数的充分必要条件是：对任意的，均有．

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设f：Rn→R1，且对任意的ε＞0，存在开集，m（G)＜ε， 使得f∈C（Rn＼G)，试证明f（x)是Rn上的可测函数．

设f：Rn→R1，且对任意的ε＞0，存在开集，m（G)＜ε，使得f∈C（Rn＼G)，试证明f（x)是Rn上的可测函数．