(a)设(kij)是无穷矩阵使得 (2) 证明(kij)表示一个有界线性映射F:l∞→l∞,F的定义如下 ,i=1,2,…, (3)
(a)设(kij)是无穷矩阵使得
(2)
证明(kij)表示一个有界线性映射F:l∞→l∞,F的定义如下
,i=1,2,…, (3)
这个级数对于所有i≥1和l∞中的x都收敛。
(b)另一方面,若无穷矩阵(kij)使得(3)式定义了从c0到l∞的映射,证明(2)式成立。
(a)设(kij)是无穷矩阵使得
(2)
证明(kij)表示一个有界线性映射F:l∞→l∞,F的定义如下
,i=1,2,…, (3)
这个级数对于所有i≥1和l∞中的x都收敛。
(b)另一方面,若无穷矩阵(kij)使得(3)式定义了从c0到l∞的映射,证明(2)式成立。
第1题
设(kij)是一个列有限的无穷矩阵,它的元素kij,都是纯量。对C00中的x,设F(x)=y,其中
,i=1,2,…。
设X=C00,范数是‖·‖,Y=C00,范数是‖·‖∞证明F:X→Y是线性的。再证明若存在α﹥0使得任取i,j有|kij|≤α,则F是连续的。
第2题
(a)设{u1,u2,…,un}为有限维线性空间X的基。求证X上的内积由kij=<ui,uj>唯一确定。若n=2且X为实空间,找出一个2×2矩阵(kij)要满足的条件使得由kij=<ui,uj>可以确定X上的一个内积。
(b)求证在任意线性空间上均可以定义一个内积。
第3题
证明存在有界线性映射F:c→c,它不能由无穷矩阵(kij)用下面形式来表示,对每个x∈c,
这个级数对所有i及x都收敛。
第5题
设k(s,t)为单位正方形[0,1]×[0,1]上的纯量连续函数,k不恒为0,且任取s,t∈[0,1]有k(s,t)=k(t,s)。设A定义在L2[0,1]为
,0≤s≤1, x∈L2[0,1]。
求证:存在非零实序列{λn},存在由[0,1]上的连续函数组成的标准正交序列{un},使得对x∈L2[0,1]
其中,若上述级数为无穷级数,则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λn|2<∞
第6题
考虑无穷矩阵
若
β=sup{|cn|+|an|+|bn|:n=1,2,…)<∞,
γ=sup{|bn-1|+|an|+|cn+1|:n=1,2,…)<∞,
其中b0=0=c1.求证:上述矩阵相对于l2上的典范标准正交基定义了l2上的有界线性算子A,且‖A‖≤(βγ)1/2。[这类矩阵称为Jacobi矩阵。]
第7题
设X*是矩阵方程f(X)=Q的解,那么对任意初始中心对称矩阵X0,矩阵Xi,Ri和Gi满足[Gi,X*-Xi]=‖Ri‖2(i=0,1,2,…).
第8题
设α∈Cc∞(Rn)使得0≤β≤1,(单位球),并且α(0)=1,又设(xj)是Rn的一列元素,满足|xj|+2≤|xj+1|定义
证明:r(x)∈S(Rn)