设是数列.证明存在[a,b]上的有界变差函数g(t)使成立的充要条件是存在M>0对一切多项式有
设是数列.证明存在[a,b]上的有界变差函数g(t)使成立的充要条件是存在M>0对一切多项式有
设是数列.证明存在[a,b]上的有界变差函数g(t)使成立的充要条件是存在M>0对一切多项式有
第1题
设函数α(x),φ(x)≠0适合命题条件(1)在每一有限间隔0≤x≤t上α(x),φ(x)都是有界变差函数.(2)α(x)及φ(x)没有相同的不连续点.于是下列(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)三组的每一组都是积分收敛的充分条件:
(Ⅰ)α(∞)存在,V0∞[φ-1]<∞.
(Ⅱ)α(x)=o(1),|φ(x)|→∞,V0∞[φ-1]→0(x→∞).
(Ⅲ)|φ(x)|→∞,于x充分大之后φ(x)为可微,有p>1使
第2题
设φ(t),ψ(t),α(t)都是在a≤t≤b上的有界变差函数而且无相同的不连续点.又设c是a,b间的任意一个值.再定义
于是我们有下列不等式
第3题
设φ(t),ψ(t),α(t)都是在a≤t≤b上的有界变差函数而且彼此没有相同的不连续点.则有
第4题
试证明:
设{fm,n(x)}是[0,1]上的双指标可测函数列,且有
(i),a.e.x∈[0,1];
(ii),a.e.x∈[0,1],
则存在子列{fmk,nk(x)},使得,a.e.x∈[0,1].
第6题
设在每一有限间隔[0,t]上φ(u)为有界变差函数,β(u)为有界变差的连续函数.又设对一切u≥0而言,φ(u)≠0.于是有下面的互导关系:
第8题
设函数α(x),φ(x)≠0定义在0≤x<∞内而适合下列条件:
(1)在每一有限间隔0≤x≤t上α(x),φ(x)都是有界变差函数.
(2)α(x)及φ(x)没有相同的不连续点
(3)当t→∞时,Vφ(t)=V0t[φ]→∞,于是无穷积分收敛的必要条件是
第9题
设β(t)及φ(t)在每一有限间隔[0,T]上都是有界变差函数且于t→∞时β(t)→B,φ(t)→±∞,又设β(t)在[0,∞)内连续并且对一切T>0而言有条件Vφ≠(T)/|φ(T)|<K(K为常数).于是有
第10题
试证明:
设定义在R1上的函数列{fn(x)}满足(λn>0,n∈N)
(En={x∈R1:|fn(x)|/λn>1}),
则存在且m(Z)=0,使得(x∈R1\Z).