设A∈Rn×n为正矩阵,证明存在唯一向量x,使得Ax=r(A)x,x=(x1,x2,…,xn)>0及
设A∈Rn×n为正矩阵,证明存在唯一向量x,使得Ax=r(A)x,x=(x1,x2,…,xn)>0及
设A∈Rn×n为正矩阵,证明存在唯一向量x,使得Ax=r(A)x,x=(x1,x2,…,xn)>0及
第1题
设A∈Rn×n,对0≠y0∈Rn,按Krylov方法构造矩阵B=(y0,y1,…,yn),设rankB=r1,y0相对于A的零化多项式为;对0≠z0∈Rn,按Lanczos方法构造向量
zi=Pi(A)z0(i=0,1,…,r2)
并设z0相对于A的零化多项式为,证明:若
span{y0,y1,…,,z0,z1,…,}=Rn,
则与的最小公倍式为A的最小多项式.
第2题
设A为n阶正矩阵,若存在某个x∈Cn,x≥0,x≠0,Ax=λx,试证x为Perron向量的倍数且λ=γ(A).
第4题
设,f:B→Rn,且存在正实数q∈(0,1),对一切x',x"∈B满足
与.
利用不动点定理证明:f在B中有惟一的不动点.
第5题
设x,z∈Rn(n>1),且x≠0,|z|=1,则存在Householder矩阵Hu,使得Hux=|x|z.
第6题
设非负矩阵A∈Rn×n,若A有正特征向量x,则对所有m=1,2,…和i=1,2,…,n,有
,其中Am=(ij(m)).特别地,若γ(A)>0,则对m=1,2,…,都有γ(A)-1Am的各元一致有界.
第7题
设向量组h1,h2,…,hk是线性无关的且适合关系:
Ah1=λh1,Ah2=h1+λh2,…,Ahk=hk-1+λhk①
试证明(r=1,2,…,k)都是方程组的解。这里A为n×n常数矩阵
第8题
试证明:
设fk∈L(Rn)(k∈N),,a.e.x∈Rn.若存在F∈L(Rn),使得|f(x)|≤F(x)(x∈Rn),且令
hk(x)=mid{-F(x),fk(x),F(x)}(即取中间之值),则.
第10题
C1曲面MC R3,它为可定向曲面
M上存在一个连续的单位法向量场.引理3.1.1是此题的高维推广,其证明参阅[7]第183页定理2或[8]第328页定理11.2.1
第11题
设g(x,y)在[a,b]×连续,偏导数g'y(x,y)处处存在,且存在正的常数m,M使m≤g'y(x,y)≤M((x,y)∈[a,b]×).证明方程g(x,y)=0在[a,b]内必有唯一连续解y=φ(x).