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试用矩阵指数函数法求解下列齐次微分方程组
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第1题
给定f(t)=(0，0，t)T ，设三阶方阵A(t)在(一∞，∞)上连续，已知方程组
对应的齐次方程组有基解矩阵
试求所给方程组的通解及满足初始条件x(0)=0的解．
第2题
设齐次线性微分方程组x0=A(t)x，x∈Rn，A(t)在t∈R连续，证明零解稳定的充要条件是它的一个基解矩阵有界。
第3题
设有常系数齐次线性微分方程组
(1)当p＞0且q＞0时，零解渐近稳定；
(2)当p=0且q＞0或p＞0且q=0时，零解稳定但非渐近稳定；
(3)其他情形下零解都不稳定．
第4题
考虑线性微分方程组
其中A(t)与f(t)是以ω为周期的周期矩阵函数与周期向量函数(即f(t+ω)=f(t)，A(t+ω)=A(t))．假定方程组(*)及其对应的齐次线性方程组
满足解的存在唯一性定理条件．证明：若x=φ(t)是方程组(*)的解，则x=φ(t)是(*)的以ω为周期的周期解的充要条件是φ(0)=φ(ω)．
第7题
设有n阶齐次线性微分方程
x(n)+a1(t)x(n-1)+…+an-1(t)
试利用它对应的一阶线性微分方程组的Liouville公式导出此方程的Liouville公式
其中W(t)是方程的wronski行列式
第10题
给定齐次方程组x=Ax，其中A为常数值矩阵．证明 (1)若A的所有特征根实部都＜0，则所有解当t→+∞时趋于0． (2)若A的所有特征根实部都≤0且零实部的特征根都是简单根，则一切解对
都有界． (3)若A有一个特征根实部＞0，则有解当t→+∞时趋向无穷．
第11题
设A是秩为1的3×4矩阵，向量α1=(1，2，2，-1)T，α2=(1，1，-5，3)T，α3=(3，2，8，-7)T，α4=(1，3，9，-5)T均是齐次线性方程组Ax=0的解向量.求方程组Ax=0的解空间的一个标准正交基.
讨论用Gauss顺序消去法求解方程组Ax＝b的数值稳定性。
