证明Cauchy—Euler方程 给定齐次方程组x=Ax,其中A为常数值矩阵.证明 (1)若A的所有特征根实
给定齐次方程组x=Ax,其中A为常数值矩阵.证明 (1)若A的所有特征根实部都<0,则所有解当t→+∞时趋于0. (2)若A的所有特征根实部都≤0且零实部的特征根都是简单根,则一切解对
都有界. (3)若A有一个特征根实部>0,则有解当t→+∞时趋向无穷.
给定齐次方程组x=Ax,其中A为常数值矩阵.证明 (1)若A的所有特征根实部都<0,则所有解当t→+∞时趋于0. (2)若A的所有特征根实部都≤0且零实部的特征根都是简单根,则一切解对
都有界. (3)若A有一个特征根实部>0,则有解当t→+∞时趋向无穷.
第4题
1kg的重物悬挂在一弹簧上,使它伸长了
后处于平衡位置.今自平衡位置将重物拉下
后放手,使其自由振动.现不计空气阻力,求其振动规律.(g=9.8m/s2)
第5题
考虑一个由电感L,电容C和电源E串联组成的简单闭合电路,其中E=E0sinωt.试证当
时,将发生共振现象,且当t→∞时,电位差v(t)变得无界.
第6题
设x*是方程f(x)=0的根.若有方程f(x)=0的第k次近似根xk,则用二次方程
的最接近于xk的一个根作为方程f(x)=0的第k+1次近似值xk+1.小这样求得方程f(x)=0根的方法称为Cauchy方法.证明当f'(x*)≠0,且f(4)(x*)在x*邻域有界时,Cauchy迭代法局部收敛,且收敛阶至少为3.
第7题
给定曲面(a,b,c为常数),由它确定的曲面方程为z=z(x,y),证明曲面的切平面通过一个定点.
第10题
齐次生产函数(homogeneous production function)与欧拉定理(Euler theorem)
第11题
由流体力学知,理想流体的完整方程组由Euler型运动方程
(1.3.1)
和连续性方程
(1.3.2)
以及物态方程
p=f(ρ),(1.3.3)
组成,其中方程(1.3.1)应该看作三个分量υx,υy,υz的方程;υ,p,ρ分别为流速、压力和密度;F为单位质量上所受外力.试导出当外力F=0时,声波在空气中传播所满足的声波方程.