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[主观题]
8 设V1是向量空间V的一个子空间，求证：如果V1的维数等于V的维数，则V1=V．
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8 设V1是向量空间V的一个子空间，求证：如果V1的维数等于V的维数，则V1=V．
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第3题
设H为Hilbert空间，P∈BL(H)。求证：
(a)P为正交投影当且仅当P=P*P
(b)每一正交投影都是自伴的
第4题
设H为Hilbert空间，T∈BL(H)。求证：T为酉算子当且仅当T将H的每一完全标准正交集映到完全标准正交集。
第5题
设x为内积空间，x1为X的非零元且C为一纯量。求证：X中使得＜x，x＞最小且满足＜x，x1＞=c的元x由cx1/＜x1，x1＞给出。
第6题
设{x1，x2，…，xn}为内积空间X由非零元组成的正交集。求证：若与每一xi均正交的元仅有X中的零元，则x1，x2，…，xn为X的代数基。
第7题
设H为Hilbert空间，{un}为H的无穷标准正交基，对n=1，2，…，设Fn=span{u1，u2，…un}。若Pn为从H到F，，的正交投影．求证：
(a)任每一x∈H有Pnx→x。
(b)‖Pn-I‖不收敛到0。
第9题
设x为Banach空间，在X'中
。求证：{x'n}为X'中的有界列。证明在上面的结论中，X的完备性是必要的。
第10题
设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证：
(a)
(b)
