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（请给出正确答案）
设曲面M：x(u，v)上无抛物点，并设M的一个平行曲面为M：x(u，v)=x(u，v)+λn(u，v)，n(u，v)为x(u，v)处的单位法向l量，其中λ为充分小的常数，使1一λH+λ2KG≠0．证明：可选M的法向量n，使M的Gauss(总)曲率KG与平均曲率H分别为
答案
更多“设曲面M的第3基本形式为Ⅲ=edu2＋2fdudv＋gdv2． 证明： （1)设曲面M：x（u，v)上无抛物点，并设M的一个”相关的问题
第1题
设曲面M的第3基本形式为Ⅲ=edu2+2fdudv+gdv2． 证明： (1)
(2)(LN一M2)2=(EG—F2)(eg一f2)．
第4题
设曲面
上无抛物点(即KG≠0处处成立)，则该曲面上的点与单位球面S2在Gauss映射G：M→S2下的像G(M)是局部一对一的(是否是整体一对一的？参阅定理3．3．4)．
第6题
设常Gauss曲率曲面M：x(u，v)的第1基本形式为
．曲面
证明：
与M有相同的Gauss曲率，但对应点的切平面互相正交．
第7题
设R3中C2曲面M在等温参数{u，v}下，第1基本形式：I=ds2=E(du2+dv2)=λ2(du2+dv2)，E=G=λ2 (λ＞0)． (1)Laplace算子表达式为
其中f为M上的C2函数； (2)Gauss曲率为
第8题
设曲面M的第1基本形式取等温形式：I=ρ2(du2+dv2)．证明：
其中
从而，当
一时，KG=4c(常数)．
第9题
设M为R3中2维光滑曲面，{u，v}为点P∈M邻近的局部坐标(参数)，{x(u，v)，xu(u，v)，xv(u，v)，n(u，v)}称为自然标架场．{x(u，v)，e1(u，v)，e 2(u，v)，e3(u，v))为规范正交标架场，dx，dei(i=1，2，3)都可用e1，e2，e3的线性组合表示．此公式称为曲面M的基本公式(或运动方程)：
在近代微分几何中，R3中的光滑曲面M：x=x(u，v)，它的自然切标架场为{xu，xv)，并称{du，dv}为它的对偶余切标架场，即du(xu)=1， du(xv)=0，dv(xu)=0， dv(xv)=1．而{e1，e2，e2}为R3中的规范正交活动标架，它限制到曲面M上，{e1，e2}为M上的规范正交切标架场，e3为M的法标架场，{ω1，ω2，ω3}为{e1，e2，e3}的对偶标架场，即ωi(ej)=δij (i，j=1，2，3)．曲面M的第1和第2基本形式分别为
定理1如果{u，v}为曲面M的正交坐标系，则有下面的计算公式：
第10题
考察参数区域为上半平面D={(x，y)｜y＞0}，而其第1基本形式为
并称这个度量为Poincae度量．证明：它的测地线为正交于x轴的上半平面的半圆或半直线(即平行y轴的半直线)．
第11题
在定理2．3．3(3)中，当det A=一1，n为奇数时，用不同于定理2．3．3(3)中的方法，而采用例2．3．2中的方法证明：
．并说明当n为偶数时，上述方法失效．
