证明:曲面M:x(x,y)=(x,y,f(x,y))的第1、第2基本形式分别为在定理2.3.3(3)中,当det A=一1,n为奇数
在定理2.3.3(3)中,当det A=一1,n为奇数时,用不同于定理2.3.3(3)中的方法,而采用例2.3.2中的方法证明:
.并说明当n为偶数时,上述方法失效.
在定理2.3.3(3)中,当det A=一1,n为奇数时,用不同于定理2.3.3(3)中的方法,而采用例2.3.2中的方法证明:
.并说明当n为偶数时,上述方法失效.
第2题
从球面M=S2(R):x2+y2+z2=R2的北极向xOy平面作球极投影.证明:球面M的第1基本形式为
第3题
设曲面M:x(u,v)具有2阶连续偏导数,{u,v}为正交曲线网,证明曲面的Gauss公式:
第4题
试证明:
设有定义在R1上的函数f(x),满足
f(x+y)=f(x)+f(y), x,y∈R1,
且在(m(E)>0)上有界,则f(x)=cx(x∈R1),其中c=f(1).
第6题
设且m(E)=0,试证明存在[a,b]上是连续且单调上升的函数f(x),使得f'(x)=+∞,x∈E.
第8题
试证明:
设F∈L([0,∞)),g(x)在[0,∞)上可测,若存在M>0.使得|g(x)/x|≤M(0<x<+∞),则
.
第9题
设f(x)为Rn上的一个Cr函数(r≥1),M={x∈Rn|f(x)=0}≠∮,且对
证明:M为一个n一1维Cr微分流形.
第11题
试证明:
设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及{nk},使得.