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[主观题]
若R3中曲面的所有曲线均为曲率线,则它为全脐的曲面.进而,若该曲面连通,则它为球面片或平面片.(参
若R3中曲面的所有曲线均为曲率线,则它为全脐的曲面.进而,若该曲面连通,则它为球面片或平面片.(参阅引理3.1.4.)
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若R3中曲面的所有曲线均为曲率线,则它为全脐的曲面.进而,若该曲面连通,则它为球面片或平面片.(参阅引理3.1.4.)
第1题
证明:具有常曲率k≠0的挠曲线x(s)为Bertrand曲线(s为弧长),且x(s)的侣线
是x(s)的曲率中心的轨迹;并且
的曲率
,挠率
第2题
如果x(s)满足:
则或者x(s)为球面曲线,或者x(s)为常曲率曲线.
第3题
设曲线C:x(s)(s为弧长)为常挠曲率曲线.证明曲线
:
为x(s)的Bertrand侣线,其中a,b为常数,k,τ,V2分别为x(s)的曲率、挠率和主法向量,x(s)为其本身的从法向量,即x(s)=V3(s).
第5题
设M为R3中的2维紧致、光滑、连通曲面,H为其平均曲率,则
其中等号成立
M为一个球面.
第8题
设
为2维紧致、定向、连通的凸曲面,且M的平均曲率H=常数,则M为一个球面;
第9题
当黏合两薄透镜时,若相接触的表面曲率半径r2,r3不吻合(见图1-25),复合透镜的焦距公式应如何修改?
第11题
R3中一个2维紧致曲面M的洞(窟窿)数称为它的亏格.R3中亏格为g的2维、紧致、定向、连通曲面的Euler-P0incae示性数X(M)为2(1一g),即X(M)=2(1一g).进而,立知R3中2维紧致、定向、连通曲面M的Euler-Poincare示性数总是2,0,一2,一4,…,一2n,…中的一个.