设f(x)是整系数多项式,p是素数。证明:(f(x))p≡f(xp)(mod p)
设f(x)是整系数多项式,p是素数。证明:(f(x))p≡f(xp)(mod p)
设f(x)是整系数多项式,p是素数。证明:(f(x))p≡f(xp)(mod p)
第1题
设g(x)是系数属于域Zp(p是素数)的一个多项式.证明: [g(x)]p=g(xp).
第2题
设p(x)是域F上首系数为1的多项式,且在某扩域中有根α.证明:若p(x)在F上不可约,则p(x)是α在F上的最小多项式.
第4题
设X是有单位元e的Banach代数,x∈X,p是复系数多项式且p(x)=θ.证明x的谱点都是p的根.
第5题
设K是一个惟一分解整环,又f(x),g(x)∈K[x].证明:若乘积f(x)g(x)是本原多项式,则f(x)与g(x)都是本原多项式.
第6题
设X是由变元为t的常系数一元多项式组成的线性空间。对P∈X,
p(t)=a0+a1t+…+antn,
定义
‖P‖=sup{|P(t)|:0≤t≤1}, ‖P‖=|a0|+|a1|+…+|an|
证明‖·‖和‖·‖1都是X上的范数,且对每个P∈X有‖P‖≤‖P‖1,再证明不存在常数α,使得对所有的P∈X有‖P‖1≤α‖P‖
第7题
设P(x)是域F上的一个n次不可约多项式.证明:商域FEx]/p(x))中的每个元素都可惟一地表示成 a0+a1x+…+an-1xn-1+(p(x)) (ai ∈ F).
第8题
试证明:
设f∈C(∞)([0,1]).若对每个x∈[0,1],均存在nx∈N,使得f(nx)(x)=0,则存在区间,以及多项式P(x),使得
f(x)=P(x) (x∈(a,b)).
第9题
设K是一个惟一分解整环,0≠f(x)∈K[x],且 f(x)=d1f1(x)=d2f2(x), 其中d1,d2∈K,f1(x)与f2(x)是本原多项式.证明:d1与d2相伴,f1(x)与f2(x)也相伴.
第10题
设p是素数,若x2≡1(mod p),证明:x≡1(mod p)或x≡-1(mod p).
第11题
设Pn(x)是n次多项式,P'n(x)=0没有实根,试证明Pn(x)=0最多只有一个实根.