设X是任意的一个集,R表示X的有限子集全体所成的环,在R上定义集函数μ如下: μ(E)=E中元素的个数(E∈R),
设X是任意的一个集,R表示X的有限子集全体所成的环,在R上定义集函数μ如下:
μ(E)=E中元素的个数(E∈R),
设X是任意的一个集,R表示X的有限子集全体所成的环,在R上定义集函数μ如下:
μ(E)=E中元素的个数(E∈R),
第1题
设X是任意的一个(非空)集,R表示X的所有子集全体所成的环。在X中任意取定一个元a,然后在R上定义集函数μ如下:对任何E∈R,
第2题
设E是线性空间X的非空子集,x∈E.若对X中的任意非零元y,存在r>0使{x+ty:0≤t<r)E,则称x为E的代数内点.设E是吸收凸集,pE为E的Minkowski泛函.证明pE(x)<1当且仅当x为E的代数内点.
第3题
设(X,R,μ)是全σ有限测度空间,f(x)是X上可积函数,集函数
ν(E)=∫EFdμ, E∈R
第4题
设E是赋范空间X的子集,证明若spanE≠X,则E的内部E0是空的。再证明若X是R上的有限维赋范空间,E是X的凸子集且0∈E,则spanE=X当且仅当E0是非空的。
第5题
‖x‖=inf{r>0:r-1x∈E)
证明‖·‖是X上的范数,且
再证明任意赋范空间X上的范数都是由某个E按上述方式生成的。
第6题
第7题
设μ是紧Hausdorff空间X上的一个正则Borel测度,假定μ(X)=1.证明存在一个紧集KX使得μ(K)=1,但对K的每个紧的真子集H有μ(H)<1.
第8题
设A=(R,*),其中R是实数集,运算*定义为:x*y=[x,y],其中符号[x,y]表示不小于x和y的最小整数,又设
H1={x|0≤x≤100,x∈R},
H2={x|0≤x<100,x∈R}
问H1与H2能否构成A的子代数?
第11题
设E1和E2是赋范空间X的子集,若E1是紧的,E2是闭的且E1∩E2=,证明存在r>0使得
(E1+U(0,r))∩E2=,
其中U(0,r)={x∈X:‖x‖﹤r}