第1题
设F(x)和G(x)是区间[0,1]上的可积函数,而且在这个区间上F(x)≤G(x).
假若当x属于上题中的集Xr时,函数f(x)等于G(x),当x不属于Xr时,等于F(x),试证明:
这里是函数f在[0,1]上的达布上积分,是函数f(x)在[0,1]上的达布下积分.
第2题
若函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f'(x)<0,则f(1)______f(0)(比较大小关系).
第3题
试确定已知函数在指出区间上的平均值M[f]:
a)f(x)=x2,x∈[0,1]; b),x∈[0,100]
c)f(x)=10+2sinx+3cosx,x∈[0,2π]
d)f(x)=sinxsin(x+φ),x∈[0,2π]
第4题
设x是区间[0,1]上所有复值函数全体按通常方式定义线性运算所构成的线性空间.在X上定义
Pt(x)=|x(t)| (t∈[0,1],x∈X),证明{Pt}是X上的半范数族且满足x≠θ有pt(x)>0,并且由{pt}定义的X上的局部凸拓扑是不可赋范的.
第5题
用改进的EuIer方法求下列初值问题在区间[0,1]上的数值解:
第6题
求函数f(x)=1+x在区间[-1,4]上的积分和σT(ξ,f),其中T表示把区间[-1,4]分为n个长度相等的子区间的分法,并且选变量的值ξi(i=0,1,…,n-1)在这些区间的中点处.
第7题
称数
为函数f(x)及g(x)于闭区间[a,b]上的绝对偏差.确定函数f(x)=x2及g(x)=x3于闭区间[0,1]上的绝对偏差.
第8题
a) 证明中的任何函数都是连续的.
b)是否任何在闭区间[0,1]上连续且u(0)=u(1)=0的函数u(x)都属于?
第11题
设Xr是区间[0,1]的一切有理点之集,φ(x)是这个集的示性函数,
证明,函数的一切达布上和等于1,而这个函数的一切达布下和等于0.