试证明: 设{fk(x)}是E上的可测函数渐升列,若,则
试证明:
设{fk(x)}是E上的可测函数渐升列,若,则
试证明:
设{fk(x)}是E上的可测函数渐升列,若,则
第1题
试证明:
设{fk(x)}是E上的可测函数列,F∈L(E)且F(x)>0(x∈E).若fk(x)≥-F(x)(x∈E),则
.
第2题
试证明:
设φ(x)是[0,∞)上的递增函数,f(x)以及fk(x)(k∈N)是上实值可测函数,若有
,
则fk(x)在E上依测度收敛于f(x).
第3题
试证明:
设fk∈L(E)(k∈N),F∈L(E).若有
fk(x)≤F(x)(x∈E),.
则在E上可积,且有
.
第4题
试证明:
设{fm,n(x)}是[0,1]上的双指标可测函数列,且有
(i),a.e.x∈[0,1];
(ii),a.e.x∈[0,1],
则存在子列{fmk,nk(x)},使得,a.e.x∈[0,1].
第5题
试证明:
设且m(E)<+∞,{ft(x)}是E上一族(0<t<+∞)实值可测函数,若存在极限(x∈E),且是E上可测函数,则任给ε>0,存在:m(E0)>m(E)-ε,使得在E0上一致地存在.
第6题
试证明:
设fk∈L(E),且fk(x)≤fk+1(x)(k∈N).若有
(x∈E),(k∈N),
则f∈L(E),且有
.
第8题
设X为上赋范空间,Ω,为完备的有限测度空间,证明x=x(t):Ω→X可测的充要条件是它为一列有限值函数(可测的简单函数)几乎处处收敛的极限.
第9题
试证明:
设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则
.
第10题
试证明:
(i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1.
(ii),a.e.x∈R1.