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试证：若f（t)满足积分定理的条件，则有 求解积分方程
求解积分方程
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第4题
设F[f(x)]=G(ω)，∫+∞-∞G(ω)dω=0，证明
第5题
试证萨比洛的弱“陶贝尔型”定理可被扩充成如下的形式：设α＞0．又设φ(t)为一正值单调上升函数并满足关系：
β1xα≤φ(x)≤β2xα，其中β1决不可能大于1/α，而β2决不可能小于1/α.
第6题
(富氏积分定理)设函数f(t)在任何有限间隔上都是黎曼可积，并且
第7题
试证对于一个马尔可夫过程，如“现在”的X(t)值已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互独立的，即如果t1＜t2＜t3，其中t2代表“现在”，t1代表“过去”，t3代表“将来”，若X(t2)=x2为已知值时，试证：条件概率密度满足等式
f2(x1,x3,t1,t3|x2,t2)=f(x1,t1|x2,t2)·f(x3,t3|x2, t2)
第9题
设f(x)在[a，b]内为可积分函数，而m≤f(x)≤M.又
设φ(t)在间隔m≤t≤M内为连续的下凸函数．则有不等式
第10题
设f(t)=[cost，sint]T，a=0，b=2π．
(1) 是否存在c∈(0，2π)满足
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)．
(2) 按总练习题5所示的中值定理，对每一β∈R2，应该存在c∈(0，2π)，使得
βT[f(b)-f(a)]=βTf'(c)(b-a)，
试求用β表示这里的中值点c．
第11题
(拉普拉斯的渐近积分定理)设φ(x)，h(x)及f(x)=eh(x)定义在有穷或无穷间隔a≤x≤b上且满足下列各条件：
(i)φ(x)(f(x))n在[a，b]上为绝对可积(n=0，1，2，…)．
(ii)函数h(x)在[a，b]的一个内点ξ处达到有效最大值(即对[a，b]间一切异于ξ的x点而言总是h(ξ)＞h(x+0)，h(ξ)＞h(x-0))．并设h(x)在ξ的邻域内有二级的连续微商而h'(ξ)=0，h"(ξ)＜0．
(iii)φ(x)在x=ξ处连续，而φ(ξ)≠0．于是当n→∞时即有下列的渐近公式：
的解，其中β＞0．
＜0＜b，求f(x)。
