设有一处于平衡态的孤立系，它由彼此处于热接触的两种定域粒子系统组成．这两个系统彼此之间可以交换能量，但

不能交换粒子．令{a_λ}，；N，N'；E，E'，分别代表两个系统的分布、总粒子数与总能量．试证明两个系统的粒子的最可几分布分别为

注意两个分布的参数α与α'不同，但β相同．

提示：由于两个系统彼此独立，与分布{a_λ}和对应的整个系统的微观态数W_total等于两个系统相应的微观态数W({a_λ})与的乘积，即

W_total=W({a_λ})·．

又由于N与N'分别固定，但E+E'固定，因而约束条件应为

δN=0； δN'=0； δE+δE'=0．

最后一个约束条件决定了只有一个拉格朗日乘子β.

顺便指出，根据热力学，两个相互热接触达到平衡的系统必有相同的温度，故β必是温度的普适函数(“普适”是指与系统的具体性质无关．当然这里还不够普遍，只限于近独立的定域子系证明的，由正则系综出发可以更普遍地证明)．