试证明: 不能定义在[0,1]上的函数f(x),使其在Q∩[0,1]上连续,而在[0,1]中的无理点处不连续.
试证明:
不能定义在[0,1]上的函数f(x),使其在Q∩[0,1]上连续,而在[0,1]中的无理点处不连续.
试证明:
不能定义在[0,1]上的函数f(x),使其在Q∩[0,1]上连续,而在[0,1]中的无理点处不连续.
第1题
在(0,1]上定义函数f(x)如下:若x∈(0,1]在十进位小数表示式(采用无穷位小数表示)为
x=0.a1a2…ak…,
则令f(x)=max{ak:k∈N},试证明f(x)在(0,1]上可测.
第3题
试证明:
设f(x)是[0,1]上的递增函数,则存在fn∈C([0,1])(n∈N),使得(0≤x≤1).
第4题
试证明:
试作(0,1)上函数f(x),使得对任意的非空开集,G均含有f(x)的c个连续点以及c个不连续点.
第5题
试证明:
设f(x)是[0,1]上正值递增函数,若有g(x)满足0≤g(x)≤[f(x)-f(y)]/(x-y)(0<y<x≤1),则存在(0,1)上递减可积函数F(x),使得g(x)≤F(x)(0<x<1).
第7题
试证明:
设有定义在R1上的函数f(x),满足
f(x+y)=f(x)+f(y), x,y∈R1,
且在(m(E)>0)上有界,则f(x)=cx(x∈R1),其中c=f(1).
第8题
试证明:
设f(x,t)定义在(a,b)×(a,b)上,且对取定的t∈(a,b),f(x,t)是x在(a,b)上的连续可微函数;对取定的x∈(a,b),f(x,t)是t在(a,b)上的连续函数,若存在F∈L((a,b)),使得|f'x(x,t)|≤F(t),则在(a,b)上可微,且有.
第9题
试问对于定义在[0,1]×[0,1]上的非负函数f(x,y),是否均存在g:[0,1]→[0,∞),使得
f(x,y)≤g(x).g(y) (x,y∈[0,1])?
第10题
试证明:
设I=(0,1],a∈(0,1),且定义
又对任意的区间,记
f(1)(J)=J,f(2)(J)=f[f(J)],…,
f(n)(J)=f[f(n-1)(J)],….
则存在n0,使得.
第11题
试证明:
设对于每个x∈[0,1]均存在点集:m(Ix)≥1/2,以及二元可测函数
则存在t*∈[0,1],:m(E)≥1/2,使得f(x,t*)=1(x∈E).