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（请给出正确答案）
电荷为q的谐振子，能量算符为
能量本征函数记为ψn(x)，能级记为
，使振子额外受力f=q
，从而总能量算符变成
(2)
新的能级记为En，本征函数记为φn(x)．求En和φn，并将φn用ψn表示出来．
答案
更多“电荷为q的谐振子，能量算符为 （1) 能量本征函数记为ψn（x)，能级记为．如外加均匀电场，使振子额外受力f=q，”相关的问题
第1题
电荷为q的谐振子，t＜0和t＞τ时处于自由振动状态，总能量算符为
能量本征态记为ψn，能级
，总能量算符变成
(2)
H的本征态记为φn，本征值为En．
设t≤0时该谐振子处于基态ψ0，求t＞τ时的波函数ψ(x，t)，以及ψ(x，t)中各能量本征态ψn的成分．
第2题
三维各向同性谐振子，总能量算符为
对于(H，l2，lz)的共同本征态
计算〈r-2〉，进而计算离心势能和径向动能平均值．
第3题
三维各向同性谐振子，能量算符为
(x1，x2，x3即x，y，z)，设此振子又受到动方向均匀力场作用，总能量算符变成
H=H0+H'， H'=λx3(2)
视H'为微扰，试利用公式计算微扰作用后的基态平均值〈xi〉，i=1、2、3，并和精确值比较．
第4题
众所周知，质量m，电荷q的粒子处于状态ψ(r)时，空间各处的电荷密度及电流密度为
ρ(r)=qψ*(r)ψ(r) (1)
今引入电荷密度算符及电流密度算符
其中
试解释算符
第5题
质量μ，电荷q的粒子在磁场B=▽×A中运动，定义机械角动量算符
L=μr×v (1)
其中v为速度算符．计算dv/dt和dL/dt．
第6题
一维谐振子的Hamilton算符为
(1)
x与p满足基本对易式
[x，p]=xp-px=ih (2)
引入无量纲算符
(4)
第7题
一个核子(质量μ)在下列势阱中运动，分别写出能级，标记定态的好量子数，能级简并度．
(a)球形谐振子势，即
(b)球形谐振子势+(-Dl2)，即
H=H0-Dl2，D＞0为常数
(c)Mayer-Jensen球形壳模型势，即
H=H0-Dl2-Cs·l， C＞0，D＞0为常数．
第8题
从谐振子升、降算符的基本对易关系
[a，a+]=1 (1)
出发，证明
(λ为参数)对于λ＞0，计算
进而讨论算符a+a的本征值谱．
第10题
有一种简化的“一维氦原子”模型，原子核一电子以及电子-电子间的作用势均用δ势阱(垒)表示，总能量算符取为
(1)
其中x1、x2表示电子1和2的坐标，Ze是原子核电荷．如采用自然单位，即距离以a0/Z为单位(a0是Bohr半径)，能量以Z2e2/a0为单位，则H可以简化成
(2)
如视电子-电子作用势(上式中最后一项)为微扰，试求体系的能级(一级近似)，并和三维氦原子的微扰论结果比较．
第11题
设有两个独立的谐振子(即两类声子)组成一个体系，以n1、n2分别表示二者的量子数(声子数)，以
即令
再令
(2)
试证明这样定义的算符满足角动量算符的全部代数性质，并求出J2、Jz的本征值和共同本征态．
