三维各向同性谐振子,能量算符为 (1) (x1,x2,x3即x,y,z),设此振子又受到动方向均匀力场作用,总能量算符
三维各向同性谐振子,能量算符为
(1)
(x1,x2,x3即x,y,z),设此振子又受到动方向均匀力场作用,总能量算符变成
H=H0+H', H'=λx3(2)
视H'为微扰,试利用公式计算微扰作用后的基态平均值〈xi〉,i=1、2、3,并和精确值比较.
三维各向同性谐振子,能量算符为
(1)
(x1,x2,x3即x,y,z),设此振子又受到动方向均匀力场作用,总能量算符变成
H=H0+H', H'=λx3(2)
视H'为微扰,试利用公式计算微扰作用后的基态平均值〈xi〉,i=1、2、3,并和精确值比较.
第1题
对于三维各向同性谐振子,径向方程,势函数
已取。上式可改写成
D(l)χl(r)=λlχl(r) (9.10)
其中,λl=-2E.令
,
,
试证明
A-(l+1)A+(l)=D(l)+(2l+3),
A+(l-1)A-(l)=D(l)+(2l-1),
B-(l+1)B+(l)=D(l)-(2l+3),
B+(l-1)B-(l)=D(l)-(2l-1),
以及
D(l)[A+(l-1)χl-1]=(Al-1+2)[A+(l-1)χl-1],
D(l)[A-(l+1)χl+1]=(Al+1-2)[A-(l+1)χl+1],
D(l)[B+(l-1)χl-1]=(Al-1-2)[B+(l-1)χl-1],
D(l)[B-(l+1)χl+1]=(λl+1+2)[B-(l+1)χl+1].
由此阐明算符A+(A-)的作用是使角动量量子数l增(减)1,能量减(增)1,而B+(B-)的作用是使角动量量子数l增(减)1,但能量增(减)1.
第2题
电荷为q的谐振子,t<0和t>τ时处于自由振动状态,总能量算符为
(1)
能量本征态记为ψn,能级.当0≤t≤τ,外加均匀电场,总能量算符变成
(2)
H的本征态记为φn,本征值为En.
设t≤0时该谐振子处于基态ψ0,求t>τ时的波函数ψ(x,t),以及ψ(x,t)中各能量本征态ψn的成分.
第5题
从谐振子升、降算符的基本对易关系
[a,a+]=1 (1)
出发,证明
(2)
(λ为参数)对于λ>0,计算
进而讨论算符a+a的本征值谱.
第6题
一个核子(质量μ)在下列势阱中运动,分别写出能级,标记定态的好量子数,能级简并度.
(a)球形谐振子势,即,能量算符为
(b)球形谐振子势+(-Dl2),即
H=H0-Dl2,D>0为常数
(c)Mayer-Jensen球形壳模型势,即
H=H0-Dl2-Cs·l, C>0,D>0为常数.
第7题
对于三维各向同性谐振子,(H,l2,lz)的共同本征态为,求各〈rλ〉的递推关系,并用以计算〈r2〉及〈r4〉.
第9题
有一种简化的“一维氦原子”模型,原子核一电子以及电子-电子间的作用势均用δ势阱(垒)表示,总能量算符取为
(1)
其中x1、x2表示电子1和2的坐标,Ze是原子核电荷.如采用自然单位,即距离以a0/Z为单位(a0是Bohr半径),能量以Z2e2/a0为单位,则H可以简化成
(2)
如视电子-电子作用势(上式中最后一项)为微扰,试求体系的能级(一级近似),并和三维氦原子的微扰论结果比较.
第10题
设有两个独立的谐振子(即两类声子)组成一个体系,以n1、n2分别表示二者的量子数(声子数),以、a1、、a2表示量子数升、降算符(即两类声子的产生、湮没算符),和表示粒子数算符.粒子数表象中的归一化本征态记为|n1n2〉.令
,
(σ为Pauli矩阵)
即令
(1)
再令
(2)
试证明这样定义的算符满足角动量算符的全部代数性质,并求出J2、Jz的本征值和共同本征态.
第11题
在质量为m的单原子组成的晶体中,每个原子可看作在所有其他原子组成的球对称势场.V(x)=(j/2)fr^2中振动,式中=r^2=x^2+y^2+z^2。该模型称为三维各向同性谐振子模型,请给出其能级的表达式。