若f(x)为黎曼可积于[a,6],则|f(x)|必亦黎曼可积于[a,b].
若f(x)为黎曼可积于[a,6],则|f(x)|必亦黎曼可积于[a,b].
若f(x)为黎曼可积于[a,6],则|f(x)|必亦黎曼可积于[a,b].
第1题
(费叶定理)设具有2π周期的函数f(x)在[-π,π]上为黎曼可积.又设Sn(x)表f(x)之富氏级数的前n+1项的部分和:
则当f(x±0)存在时,其部分和的算术平均值必有下述极限值:
第2题
(富氏积分定理)设函数f(t)在任何有限间隔上都是黎曼可积,并且,又设在一点t=x的双边邻域内f(t)为有界变差,则有下列的富氏积分公式:
第3题
(富氏级数的展开定理)设具有2π周期的函数f(x)在间隔[-π,π]上为黎曼可积.又设f(x)的富氏系数为
于是对于每一个这样的点x0要是在它的双边邻域内f(x)为有界变差函数时,则总有下列的富氏级数展开式:
第6题
设f(x)为定义在[a,b]上的一个连续函数(或黎曼可积函数).令fvn=f(a+vδn),试证:
第7题
设k为一正常数而a<ξ<b.又设f(x)在[a,b]上为黎曼可积函数而在ξ点的左右极限f(ξ-0),f(ξ+0)都存在.则有
第8题
设s(x)=4[x]-2[2x]+1.又设f(x)为在0≤x≤1上的黎曼可积函数,{n}为自然数列,试证:
第9题
(黎曼-莱贝克定理的扩充)设K(x,y)是在平面区域-∞<x<∞,0≤y<ω上的有界可测函数,且是变数y的周期函数,其周期为ω又设K(x,λx)对于每一个充分大的λ而言,都是-∞<x<∞上的可测函数.则对于任意一个莱贝克可积函数f(x),下面的公式常常成立:
[徐利治]