试证明: 设g(x)是E上的可测函数,若对任意的f∈L(E),都有f·g∈L(E),则除一个零测集Z外,g(x)是E\Z上的有界
试证明:
设g(x)是E上的可测函数,若对任意的f∈L(E),都有f·g∈L(E),则除一个零测集Z外,g(x)是E\Z上的有界函数.
试证明:
设g(x)是E上的可测函数,若对任意的f∈L(E),都有f·g∈L(E),则除一个零测集Z外,g(x)是E\Z上的有界函数.
第3题
试证明:
设且m(E)<+∞,{ft(x)}是E上一族(0<t<+∞)实值可测函数,若存在极限(x∈E),且是E上可测函数,则任给ε>0,存在:m(E0)>m(E)-ε,使得在E0上一致地存在.
第4题
试证明:
设f(x),g(x)是[0,∞)上非负递增函数,φ(x),ψ(x)是[0,∞)上非负可测函数,则对a<b,有
.
第5题
试证明:
设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可积,且令,则g(x)在(-1,1)上可积.
第6题
试证明:
设f(x),g(x)是[0,∞)上正值可测函数,且对任意的a>0,f∈L([0,a]),g∈L([0,a]).若有
,,
则存在充分大的值r,使得对满足0≤s≤r的s,均有
.
第7题
试证明:
设F∈L([0,∞)),g(x)在[0,∞)上可测,若存在M>0.使得|g(x)/x|≤M(0<x<+∞),则
.
第8题
试证明:
设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则,a.e.x∈R1.
第9题
试证明:
设φ(x)是[0,∞)上的递增函数,f(x)以及fk(x)(k∈N)是上实值可测函数,若有
,
则fk(x)在E上依测度收敛于f(x).
第10题
试证明:
设f(x)是R1上的非负函数,是闭集,若视f(x)是F上的函数是连续的,则函数g(x)=f(x).χF(x)是上半连续函数.