对R3中定向光滑的2维闭曲面M,如果进一步,如果定向光滑的2维闭曲面M的Gauss曲率KG>0(即M为卵形
进一步,如果定向光滑的2维闭曲面M的Gauss曲率KG>0(即M为卵形面),则Gauss映射G:M→S2为一个微分同胚,且M为整体严格凸曲面.
进一步,如果定向光滑的2维闭曲面M的Gauss曲率KG>0(即M为卵形面),则Gauss映射G:M→S2为一个微分同胚,且M为整体严格凸曲面.
第3题
设M为R3中的2维紧致、光滑、连通曲面,H为其平均曲率,则
其中等号成立
M为一个球面.
第4题
设
为2维紧致、定向、连通的凸曲面,且M的平均曲率H=常数,则M为一个球面;
第5题
对于R3中2维定向的闭曲面(紧致、无边的曲面),有
其中M+={P∈M|KG(P)≥0),g=g(M)为曲面M的亏格.
第6题
R3中一个2维紧致曲面M的洞(窟窿)数称为它的亏格.R3中亏格为g的2维、紧致、定向、连通曲面的Euler-P0incae示性数X(M)为2(1一g),即X(M)=2(1一g).进而,立知R3中2维紧致、定向、连通曲面M的Euler-Poincare示性数总是2,0,一2,一4,…,一2n,…中的一个.
第7题
设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面,点P∈M.证明:在M中存在P的一个开邻域U,使得U可用下列3种形式的Ck函数:2=f(x,y), y=g(x,z), x=h(y,z)中的一个确定为Ck曲面片.
第8题
C1曲面MC R3,它为可定向曲面
M上存在一个连续的单位法向量场.引理3.1.1是此题的高维推广,其证明参阅[7]第183页定理2或[8]第328页定理11.2.1
第9题
设e1,e2,ω1,ω2和
为R3中C2超曲面M上的规范正交标架,f为M上的C2函数,
(f沿ei方向的方向导数eif=df(ei)=(f1ω1+f2ω2)(ei)=fi).记
则:(1)
;
(7)f12=f21; (8)f11+f22与规范正交标架的选取无关,并称△1:C2(M,R)→C0(M,R)f1→△1f=f11+f22为M上的Laplace算子.如果△1f=0,则称f为调和函数.