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[主观题]

证明Banach空间X是严格凸的当且仅当对任意x*∈X*，x*≠θ，若z1，z2∈X，‖z1‖=‖z2‖=1使（x*，z1)=（x*，z2)=（x*，x)，则必

证明Banach空间X是严格凸的当且仅当对任意x*∈X*，x*≠θ，若z1，z2∈X，‖z1‖=‖z2‖=1使(x*，z1)=(x*，z2)=证明Banach空间X是严格凸的当且仅当对任意x*∈X*，x*≠θ，若z1，z2∈X，‖z1‖=‖z(x*，x)，则必有z1=z2．

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发布时间：2022-12-04
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更多“证明Banach空间X是严格凸的当且仅当对任意x*∈X*，x*≠θ，若z1，z2∈X，‖z1‖=‖z2‖=1使（x*，z1)=（x*，z2)=（x*，x)，则必”相关的问题

第1题

证明Banach空间X是一致凸的当且仅当对任意{xn}，{yn}X，若，，则必有．

证明Banach空间X是一致凸的当且仅当对任意{xn}，{yn}X，若，，则必有．

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第2题

设X是Banach空间，，且m＞0，x∈X有‖Tx‖≥m‖x‖．证明：当且仅当dim X＜∞.

设X是Banach空间，，且m＞0，x∈X有‖Tx‖≥m‖x‖．证明：当且仅当dim X＜∞.

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第3题

设X为Banach空间，A∈BL（X)，A≠0。求证：A为有限秩的当且仅当存在X中线性无关的元{x1，x2，...,xn}，X'中线性无

设X为Banach空间，A∈BL(X)，A≠0。求证：A为有限秩的当且仅当存在X中线性无关的元{x1，x2，...,xn}，X'中线性无关的元{x'1，x'2，…，x'n)使得

，x∈X

由此推出A的非零特征值为矩阵(kij)特征多项式非零根的全体，其中对i，j=1，2，…，n，kij=x'i(xj)

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第4题

设ΩC为开区域（即连通开集)，X为复Banach空间．若x（t)：Ω→X在Ω处处可导，则称x（t)在Ω上解析．若任意f∈X*，f（x（t))

设ΩC为开区域(即连通开集)，X为复Banach空间．若x(t)：Ω→X在Ω处处可导，则称x(t)在Ω上解析．若任意f∈X*，f(x(t))为Ω上通常解析函数，则称x(t)在Ω上弱解析．证明Dunford定理：x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析．

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第5题

设X是K上的赋范线性空间，S={x∈X：‖x‖≤1}。设g：S→K是一个映射，使得 g（kx+y)=kg（z)+g（y)， （4) 其中x，y和kx+y

设X是K上的赋范线性空间，S={x∈X：‖x‖≤1}。设g：S→K是一个映射，使得

g(kx+y)=kg(z)+g(y)， (4)

其中x，y和kx+y属于S，k在中。证明g能唯一地延拓到X上的线性泛函f。再证明f是连续的当且仅当g是连续的。

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第6题

设X，Y为Banach空间，．证明 ，且indT*=－indT．

设X，Y为Banach空间，．证明

，且indT*=-indT．

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第7题

设{Tt：t≥0}是Banach空间X上的C0类线性算子半群，A为其无穷小生成元，D（A)表示A的定义域，且x，y∈X有．证明x∈D（A)

设{Tt：t≥0}是Banach空间X上的C0类线性算子半群，A为其无穷小生成元，D(A)表示A的定义域，且x，y∈X有．证明x∈D(A)，且Ax=y．

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第8题

证明广义的Liouville定理：设X是Banach空间，x=x（t)：C→X为向量值解析函数，且‖x（t)‖在上有界．则x（t)在X中为常

证明广义的Liouville定理：设X是Banach空间，x=x(t)：C→X为向量值解析函数，且‖x(t)‖在上有界．则x(t)在X中为常向量．

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第9题

设X是Banach空间，Y是任一个赋范空间。若F：X→Y是从X到R（F)的线性同胚，且R（F)在Y中稠密，证明R（F)=Y

设X是Banach空间，Y是任一个赋范空间。若F：X→Y是从X到R(F)的线性同胚，且R(F)在Y中稠密，证明R(F)=Y

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第10题

设X是Banach空间，T是X上线性紧算子，g在中开圆盘Br={z∈：|z|＜r}上解析，且g（0)=0，σ（T)Br．证明g（T)也是线性紧算

设X是Banach空间，T是X上线性紧算子，g在中开圆盘Br={z∈：|z|＜r}上解析，且g(0)=0，σ(T)Br．证明g(T)也是线性紧算子

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第11题

设X和Y是Banach空间。设Z是X的子空间，F：Z→Y是线性映射，它的图像在X×Y中是闭的。对z∈Z，设 ‖z‖F=（‖z‖2+‖F（z)‖2

设X和Y是Banach空间。设Z是X的子空间，F：Z→Y是线性映射，它的图像在X×Y中是闭的。对z∈Z，设

‖z‖F=(‖z‖2+‖F(z)‖2)1/2

证明Z在这个范数下是Banach空间且F∈BL(z，Y)[‖·‖F称为F的图范数。]

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