证明:若函数f(x)在[α,b]上连续,且f(α)=f(b)=K,f+(α)f-(b)>0,则在(α,b)内至少有一点ξ,使f(ξ)=K。
证明:若函数f(x)在[α,b]上连续,且f(α)=f(b)=K,f+(α)f-(b)>0,则在(α,b)内至少有一点ξ,使f(ξ)=K。
证明:若函数f(x)在[α,b]上连续,且f(α)=f(b)=K,f+(α)f-(b)>0,则在(α,b)内至少有一点ξ,使f(ξ)=K。
第1题
令(斜坡函数)
并设f(x)是R1上的实值函数,若对一切n,ψn(x)=φn[f(x)]在R1上连续,试证明f∈C(R1).
第2题
证明:若函数f(x)在[x0,x0+δ]上连续,在(x0,x0+δ)内可导,且(A为常数),则f(x)在x0处的右导数存在且等于A.
第3题
试证明:
设f(x,t)定义在(a,b)×(a,b)上,且对取定的t∈(a,b),f(x,t)是x在(a,b)上的连续可微函数;对取定的x∈(a,b),f(x,t)是t在(a,b)上的连续函数,若存在F∈L((a,b)),使得|f'x(x,t)|≤F(t),则在(a,b)上可微,且有.
第4题
试证明:
设f(x)是R1上的非负函数,是闭集,若视f(x)是F上的函数是连续的,则函数g(x)=f(x).χF(x)是上半连续函数.
第6题
设X是连通的拓扑空间,C*(X)是X上连续复函数之集,是C*(X)中的一个等度连续函数之集.若对某个x0∈X,复数集{f(x0):f∈}有界,证明对每个x∈X,{f(x):f∈}都是有界的.
第8题
设f:R1→R1,且有f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R1).若f(x)至少有一个不连续点,试证明其函数图形集
Gf={(x,f(x)):x∈R1}
在R2中稠密.
第10题
证明对在[-1,1]上的连续的函数f(x)有:
1),其中函数f(x)是偶函数
2),其中函数f(x)是奇函数
给出这些事实的几何解释.
第11题
试证明:
不能定义在[0,1]上的函数f(x),使其在Q∩[0,1]上连续,而在[0,1]中的无理点处不连续.