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[主观题]
设X为无限维Banach空间,F为X上有界的有限秩算子全体.证明:F为(X)的真理想.
设X为无限维Banach空间,F为X上有界的有限秩算子全体.证明:F为(X)的真理想.
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设X为无限维Banach空间,F为X上有界的有限秩算子全体.证明:F为(X)的真理想.
第1题
设,是可测空间,X为可分的Banach空间,X上的Borel代数为,Y为Banach空间,f:Ω×X→Y关于x∈X是连续的,关于ω∈Ω是可测的.证明f是可测的.
第2题
设ΩC为开区域(即连通开集),X为复Banach空间.若x(t):Ω→X在Ω处处可导,则称x(t)在Ω上解析.若任意f∈X*,f(x(t))为Ω上通常解析函数,则称x(t)在Ω上弱解析.证明Dunford定理:x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析.
第3题
设X,Y,Z是赋范空间,其中X或者Y是Banach空间。对F:X×y→Z,定义Fx:Y→Z及Fy:X→Z为
Fx(y)=F(x,y)=Fy(x), x∈X,y∈Y。
若对所有x∈X,Fx∈BL(Y,Z)且对y中所有y,Fy∈BL(X,Z)。证明F是连续的,且
‖F(x,y)‖≤α‖x‖ ‖y‖, x∈X,y∈Y。
其中α是常数。
第8题
设X为Banach空间,A,B∈BL(X)。求证:σ(AB)与σ(BA)最多相差{0}。