试证明: 设f∈L(R1),g∈L(R1),且有,试证明对任意的r∈(0,1),存在R1中可测集E,使得 .
试证明:
设f∈L(R1),g∈L(R1),且有,试证明对任意的r∈(0,1),存在R1中可测集E,使得
.
试证明:
设f∈L(R1),g∈L(R1),且有,试证明对任意的r∈(0,1),存在R1中可测集E,使得
.
第3题
试证明:
(Féjer)设φ(x)同上,{λn}是实数列,f∈/(R1),则
.
注:(f∈L(R1)).
第4题
试证明:
设fn∈L(R1)(n=1,2,…),F∈L(R1),且有
.
若存在,(n=1,2,…):m(En△E)→0(n→∞),则
.
第6题
试证明:
设f∈L(R1)且f(x)≥0(x∈R1),则存在闭集列:,使得
, f∈C(Fn) (n∈N).
第7题
试证明:
设f∈L(R1),在R1上作函数列
gn(x)=f(x)χ[-n,n](x),hn(x)=min{f(x),n} (n∈N),
则,.
第8题
试证明:
设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则,a.e.x∈R1.
第9题
试证明:
设,则f:R1→R1在E上的图形集
Gf={(x,y):y=f(x),x∈E}
是Gδα曲集.
第10题
设.若对任意的f∈C(F),必有g∈C(R1),使得g(x)=f(x)(x∈F)(即可连续延拓到R1上),试证明F是闭集.
第11题
试证明:
设f(x)是R1上的非负函数,是闭集,若视f(x)是F上的函数是连续的,则函数g(x)=f(x).χF(x)是上半连续函数.