令(斜坡函数) 并设f(x)是R1上的实值函数,若对一切n,ψn(x)=φn[f(x)]在R1上连续,试证明f∈C(R1).
令(斜坡函数)
并设f(x)是R1上的实值函数,若对一切n,ψn(x)=φn[f(x)]在R1上连续,试证明f∈C(R1).
令(斜坡函数)
并设f(x)是R1上的实值函数,若对一切n,ψn(x)=φn[f(x)]在R1上连续,试证明f∈C(R1).
第1题
设f(x)是上的实值可测函数,若存在M∈R1,使得
m({x∈E:f(x)≥M})≥1/2,
m({x∈E:f(x)≤M})≥1/2,
则称M为f的分布函数的中点,试问中点是唯一的吗?
第3题
试证明:
设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则
.
第5题
试证明:
设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及{nk},使得.
第6题
试证明:
(i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1.
(ii),a.e.x∈R1.
第7题
设f(x)在I=(0,1)上实值可测,则存在唯一的t0∈R1,使得
(i)m({x∈I:f(x)≥t0})≥1/2.
(ii)对任给ε>0,m({x∈I:f(x)≥t0+ε})<1/2.
第8题
试证明:
(Féjer)设φ(x)同上,{λn}是实数列,f∈/(R1),则
.
注:(f∈L(R1)).
第9题
设f是X上的复可测函数.μ是X上的正测度并且
设E={p:φ(p)<∞},并假设‖f‖∞>0.
第10题
试证明:
设,则f:R1→R1在E上的图形集
Gf={(x,y):y=f(x),x∈E}
是Gδα曲集.