证明, 其中n为曲面S上的单位法矢,l为S的有向边界曲线,其正向与n符合右手法则,u和υ都是点M的函数.
证明,
其中n为曲面S上的单位法矢,l为S的有向边界曲线,其正向与n符合右手法则,u和υ都是点M的函数.
证明,
其中n为曲面S上的单位法矢,l为S的有向边界曲线,其正向与n符合右手法则,u和υ都是点M的函数.
第3题
设曲面M:x(u,v)上无抛物点,并设M的一个平行曲面为M:x(u,v)=x(u,v)+λn(u,v),n(u,v)为x(u,v)处的单位法向l量,其中λ为充分小的常数,使1一λH+λ2KG≠0.证明:可选M的法向量n,使M的Gauss(总)曲率KG与平均曲率H分别为
第4题
设曲面M上的一条曲率线C:x(s)(s为弧长),它的每一点处的从法向量V3(s)与曲面在该点处的法向量n(s)成定角,且V3(s).n(s)≠±1(即V3s(s)不平行于n(s)).证明:C为平面曲线.
第7题
证明:在曲面M:x(u,v)的一般参数u,v下,弧长参数曲线(u(s),v(s))的测地曲率为
其中A=A1=F111u2+2F121uv+F221v2,B=A2=F111u2
第8题
C1曲面MC R3,它为可定向曲面
M上存在一个连续的单位法向量场.引理3.1.1是此题的高维推广,其证明参阅[7]第183页定理2或[8]第328页定理11.2.1
第9题
设L为yOz面上位于,y≥0内的光滑曲线段,L绕z轴旋转得曲面∑,函数f(y,z)在L上连续,证明
第10题
设k(s,t)为单位正方形[0,1]×[0,1]上的纯量连续函数,k不恒为0,且任取s,t∈[0,1]有k(s,t)=k(t,s)。设A定义在L2[0,1]为
,0≤s≤1, x∈L2[0,1]。
求证:存在非零实序列{λn},存在由[0,1]上的连续函数组成的标准正交序列{un},使得对x∈L2[0,1]
其中,若上述级数为无穷级数,则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λn|2<∞
第11题
下面的论断是否正确?正确的要说明理由,错误的则给出反例.
(1)∮CF·ds是一个向量;
(2)若A,B是曲线C的起点和终点,则有∮CF·ds=F(B)-F(A);
(3)若向量场F在单位圆周x2+y2=1上的曲线积分等于0,则F必为一个梯度场;
(4)分片光滑的封闭曲面S所包围的体积必等于
其中cosα,cosβ,cosγ,为曲面S的外法线的方向余弦