设K是一个惟一分解整环,又f(x),g(x)∈K[x].证明:若乘积f(x)g(x)是本原多项式,则f(x)与g(x)都是本
设K是一个惟一分解整环,又f(x),g(x)∈K[x].证明:若乘积f(x)g(x)是本原多项式,则f(x)与g(x)都是本原多项式.
设K是一个惟一分解整环,又f(x),g(x)∈K[x].证明:若乘积f(x)g(x)是本原多项式,则f(x)与g(x)都是本原多项式.
第1题
设F是惟一分解整环K的分式域.如果在F[x]中有 f(x)=g(x)h(x) (f(x),g(x)∈K[x]), 而且g(x)是本原的,证明:h(x)∈K[x].
第2题
设K是惟一分解整环,又u,v∈K,u≠0.且 (u,v)=1.f(x)∈K[x]. 证明:在K的商域F中,若
是f(x)的根.则 (u-v)|f(1), (u+v)|f(一1).
第3题
设K是一个惟一分解整环.证明: 1)ε是K的单位
ε是K[x]的单位; 2)可约的本原多项式必有次数大于零的多项式为其真因子.
第4题
(b1,b2,…,bn)=1.
第5题
设X是K上的赋范线性空间,S={x∈X:‖x‖≤1}。设g:S→K是一个映射,使得
g(kx+y)=kg(z)+g(y), (4)
其中x,y和kx+y属于S,k在中。证明g能唯一地延拓到X上的线性泛函f。再证明f是连续的当且仅当g是连续的。
第6题
设Y是线性空间X的子空间,p是X上的半范数,即p是从X到的一个映射,使得对X中所有x,y,,有
p(x)≥0, p(kx)=|k|p(x), p(x+y)≤p(x)+P(y)
若g:是线性的,对Y中所有y有g(y)≤p(y),证明:存在线性映射使得f|Y=g,且对X中所有x有|f(x)|≤p(x)
第7题
设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面,点P∈M.证明:在M中存在P的一个开邻域U,使得U可用下列3种形式的Ck函数:2=f(x,y), y=g(x,z), x=h(y,z)中的一个确定为Ck曲面片.
第8题
(黎曼-莱贝克定理的扩充)设K(x,y)是在平面区域-∞<x<∞,0≤y<ω上的有界可测函数,且是变数y的周期函数,其周期为ω又设K(x,λx)对于每一个充分大的λ而言,都是-∞<x<∞上的可测函数.则对于任意一个莱贝克可积函数f(x),下面的公式常常成立:
[徐利治]
第9题
设f(x),g(x)是两个互质的多项式,其中g(x)的次数不低于f(x)的次数并且g(0)=0.又设g(n)≠0(n=1,2,…).
于是函数
必满足下列的齐次线性常微分方程式
第10题
试证明:
设f∈C([a,b]),并作(右升)点集
G={x∈(a,b):存在ξ:ξ>x,f(ξ)>f(x)},
则G是开集.又若(α,β)是G的构成区间,则f(α)≤f(β).
第11题
设f(x)为正值单调下降函数(x≥0),又a>1.求证∑f(k)与∑akf(ak)两者必同时收敛同时发散.