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[主观题]

设E是线性空间X的非空子集，x∈E．若对X中的任意非零元y，存在r＞0使{x+ty：0≤t＜r)E，则称x为E的代数内点．设E是吸

设E是线性空间X的非空子集，x∈E．若对X中的任意非零元y，存在r＞0使{x+ty：0≤t＜r) $设E是线性空间X的非空子集，x∈E．若对X中的任意非零元y，存在r＞0使{x+ty：0≤t＜r)E，$ E，则称x为E的代数内点．设E是吸收凸集，p_E为E的Minkowski泛函．证明p_E(x)＜1当且仅当x为E的代数内点．

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发布时间：2022-12-04

更多“设E是线性空间X的非空子集，x∈E．若对X中的任意非零元y，存在r＞0使{x+ty：0≤t＜r)E，则称x为E的代数内点．设E是吸”相关的问题

第1题

称线性空间X的非空子集E是平衡的，若对于x∈E，k∈K且|k|≤1，总有kx∈E。称E是吸收的，若对任意x∈X，都存在r＞0，使得r

^-1x∈E。设E是凸平衡吸收的；而且没有X的非零子空间含在E中.取x∈X，令

‖x‖=inf{r＞0：r^-1x∈E)

证明‖·‖是X上的范数，且

再证明任意赋范空间X上的范数都是由某个E按上述方式生成的。

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第2题

设X是拓扑空间，是X的非空子集族且满足（F1) （F2)若A，B∈，则（F3)若A∈，AB，则B∈，则称是X上的一个滤子．若

设X是拓扑空间，是X的非空子集族且满足

(F1)

(F2)若A，B∈，则

(F3)若A∈，AB，则B∈，

则称是X上的一个滤子．若对X上的任一滤子，由蕴涵，则称滤子是一个极大滤子或超滤．若点p∈X的邻域系有，则称滤子收敛于p，记为．证明下列命题：

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第3题

设E1和E2是赋范空间X的不交非空凸子集，其中E1是紧的，E2是闭的。证明：存在X'中的厂和实数α1，α2，使得对所

设E₁和E₂是赋范空间X的不交非空凸子集，其中E₁是紧的，E₂是闭的。证明：存在X'中的厂和实数α₁，α₂，使得对所有E₁中的x₁和E₂中的x₂有

Ref(x₁)＜α₁＜α₂＜Ref(x₂)

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第4题

设X是赋范空间，A，A1，A2是X的非空有界子集，b∈，α是非紧性测度，证明：

设X是赋范空间，A，A₁，A₂是X的非空有界子集，b∈，α是非紧性测度，证明：

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第5题

试证明：设f:R2→R1.若对R2中一切非空子集A，B: d（A，B)=0，总有d（f（A)，f（B))=0，则f（x)一致连续．

试证明：

设f:R²→R¹.若对R²中一切非空子集A，B: d(A，B)=0，总有d(f(A)，f(B))=0，则f(x)一致连续．

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第6题

设X是完备距离空间，是X上连续复值函数的集合。证明或者（i)存在 X的稠密子集D使得或者（ii)存在X中非空

设X是完备距离空间，是X上连续复值函数的集合。证明或者(i)存在

X的稠密子集D使得

或者(ii)存在X中非空开球U使得

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第7题

设（X，ρ)是完备度量空间，α是非紧性测度，{An}是X的非空递缩有界闭集，即有AnAn+1，．若α（An)→0（n→∞)，证明A=An是X

设(X，ρ)是完备度量空间，α是非紧性测度，{A_n}是X的非空递缩有界闭集，即有A_nA_n+1，．若α(A_n)→0(n→∞)，证明A=A_n是X中非空的紧集．

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第8题

设X为赋范空间，Ω是X的有界开凸子集，θ∈Ω，T：→X为全连续算子，为Ω的边界．若下列条件之一满足：

设X为赋范空间，Ω是X的有界开凸子集，θ∈Ω，T：→X为全连续算子，为Ω的边界．若下列条件之一满足：

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第9题

设E是赋范空间X的子集，Y=spanE，a∈X。证明当且仅当对所有在E上恒为0的f∈X’'有f（a)=0。

设E是赋范空间X的子集，Y=spanE，a∈X。证明当且仅当对所有在E上恒为0的f∈X’'有f(a)=0。

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第10题

设X是任一集合，若对任意的x，y∈X，都存在一个实数与它们相对应，记作ρ（x，y)，并且满足下列条件（称为距离公理)：

设X是任一集合，若对任意的x，y∈X，都存在一个实数与它们相对应，记作ρ(x，y)，并且满足下列条件(称为距离公理)：

(1)非负性ρ(x，y)≥0，且ρ(x，y)=0；

(2)对称性ρ(x，y)=ρ(y，x)；

(3)三角不等式ρ(x，y)≤ρ(x，z)+ρ(z，y)则称ρ(x，y)为x与y之间的距离，并称定义了距离的集合X为距离空间或度量空间，证明：n维Euclid空间Rⁿ，连续函数空间C([a，b])与P方可和数列空间都是距离空间

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第11题

对所有s∈，t∈，定义us（t)=eist，设X是这些函数us的全体有限线性组合所组成的复线性空间．若f∈X，g∈X，证明＜f，g＞=

对所有s∈，t∈，定义u_s(t)=e^ist，设X是这些函数u_s的全体有限线性组合所组成的复线性空间．若f∈X，g∈X，证明＜f，g＞=存在．说明这个内积使X成为一个内积空间，其完备化空间H是一个不司分的Hilbert空间，并证明{u_s：s∈}是H的一个极大规范正交集．

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