(琴生不等式)设φ(t)为(m,M)内的凸函数,p1,p2,…,pn为任意一组正数,t1,t2,…,tn为(m,M)内的一组值.于是随φ(t)
(琴生不等式)设φ(t)为(m,M)内的凸函数,p1,p2,…,pn为任意一组正数,t1,t2,…,tn为(m,M)内的一组值.于是随φ(t)为下凸或上凸而有下列不等式
(琴生不等式)设φ(t)为(m,M)内的凸函数,p1,p2,…,pn为任意一组正数,t1,t2,…,tn为(m,M)内的一组值.于是随φ(t)为下凸或上凸而有下列不等式
第1题
设f(x)在[a,b]内为可积分函数,而m≤f(x)≤M.又
设φ(t)在间隔m≤t≤M内为连续的下凸函数.则有不等式
若φ(t)为上凸函数,则式中的不等号即反向.
第3题
求所有这样一些α>0,使得在区域
内的拉普拉斯方程狄利克雷问题满足不等式
|u(x,y)|≤M(1+x2+y2)α的解u(x,y)唯一,其中M>0为常数.
第4题
设对于k=1,2,3,…时,bk≥0,以及m<s1+s2+…+sk<M,其中sk=a1+a2+…+ak.于是下列不等式必成立:
第5题
(凸函数的基本不等式)设φ(t)为下凸函数(a≤t≤b),即常保持关系:
则对于[a,b]间的任意一组值t1,t2,…,tn(不全相同),必有下列不等式
第6题
设Ω为开集,£。∈n,z(t):以一l’,1<p<。。.证明,27(£)一{xn(t)}在t0弱可导的充要条件是:
(1)存在正的常数δ与M,使得当0<|h|≤δ时有≤M
(2)每个分量函数xn(t)都在t0可导.
第7题
设解的形式为ul,m=u(0)exp[i(lkxa+mkya)-ωt],这里a是最近邻原子间距,证明运动方程是可以满足的,如果ω2M=2c(2-coskxa-coskya),这就是问题的色散关系。
第8题
设a1,a2,…,an为一组不全相同之正数,则对于幂平均值Ms(a)=M.而言,于s>t>0时常有不等式
又若f(x)≥0是[a,b]上的一个可积分函数(不等于常数),则对于Ms(f)=Ms而言,于s>t>0时亦有同样的不等式
[徐利治]
第10题
设,且令
A={(x1/2,x2/2):(x1,x2)∈E},
B={(tx1,tx2,t)∈[0,1]3:(x1,x2)∈E,t∈[0,1]},其中.试求m(A)与m(B)的值.
第11题
设是在Q:=(-1,1)×(0,1]中方程
ut=uxx+q(x,t)u,其中q∈C的解.记M:=maxu,m:=maxu,其中如果a)q(x,t)0;b)q(x,t)>0;c)q(x,t)<0,M>0,是否可能M>m?