设函数,其中Q为有理数集,为无理数集,求,,并讨论函数D[D(x)]的性质
设函数,其中Q为有理数集,为无理数集,求,,并讨论函数D[D(x)]的性质
设函数,其中Q为有理数集,为无理数集,求,,并讨论函数D[D(x)]的性质
第1题
记R2中以(x,rx)为中心的开圆为Bx,其中x∈R2,rx为正有理数,且令点集
,.
试证明不论如何选择rx,总有.
第2题
A.对通常数的加法和数量乘法,有理数集合Q是线性空间,且为基{1},维数是1
B.对通常复数的加法和数量乘法复数集C是线性空间,且基为{1},维数是1
C.对通常复数的加法和数量乘法集C是线性空间,且为基{1,i},维数是2
D.对通常实数数的加法和数量乘法集合R不是线性空间
第4题
设表示R2中由一切有限个圆的并所成的集类,Q为单位正方形。若令这里λS表示S中那有限个圆的面积的和试问μQ=1,μ'Q=1二式是否成立?
第5题
设S为非空集合,l2(S)为所有S上的纯量函数x满足:
(i){s∈S:x(s)≠0)为可数集且
(ii)
若x,y∈l2(S),令
(34)
求证:l2(S)为Hilbert空间。
第6题
设n>2,为开集,且
.
证明:在满足f(x0)=0的点x0处,rankf'(x0)<2.但是由方程f(x)=0仍可能在点x0的邻域内确定隐函数.
第7题
试证明:
设E是由某些有理数形成的集合,且满足
(i)若a∈E,b∈E,则a+b∈E,ab∈E;
(ii)对任一有理数r,恰有下述关系之一成立:
r∈E,-r∈E,r=0,
则E是全体正有理数形成的数集.
第8题
设H为Hilbert空间,A∈BL(H),W(A)为A的数值域。求证:
(a)W(A)=ω(UAU-1),其中U为H上的酉算子
(b)若W(A)至少含有两个点,则W(A)的导集为W(A)
第9题
试证明:
(i)设且m(E)>1,则E中存在两点:P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),其中x2-x1∈Z,y2-y1∈Z(Z是整数集).
(ii)设是以原点(0,0)为中心的对称凸集,且m(S)>22,则S包含整数格点P=(x,y)≠(0,0).此外,又若存在n0∈N,使得m(S)>n0·22,则S至少包含2n0个整数格点.