考虑谐振子升、降算符a+、a的线性变换 b=λa+νa+, b+=νa+λa+ (1) λ、ν为实数,并满足关系λ2-ν2=1.试证明:对于
考虑谐振子升、降算符a+、a的线性变换
b=λa+νa+, b+=νa+λa+(1)
λ、ν为实数,并满足关系λ2-ν2=1.试证明:对于算符b的任何一个本征态,△x·△p=h/2.
考虑谐振子升、降算符a+、a的线性变换
b=λa+νa+, b+=νa+λa+(1)
λ、ν为实数,并满足关系λ2-ν2=1.试证明:对于算符b的任何一个本征态,△x·△p=h/2.
第2题
从谐振子升、降算符的基本对易关系
[a,a+]=1 (1)
出发,证明
(2)
(λ为参数)对于λ>0,计算
进而讨论算符a+a的本征值谱.
第3题
简谐振子的Hamilton量
如下定义升、降算符
其中.则Hamilton量写为.粒子初态处于相干态|z〉(a|z〉=z|z〉).试在Heisenberg图像求解,求a、随时间的变化关系,并进而给出x、p以及其平均值随时间的变化关系.
第4题
设有两个独立的谐振子(即两类声子)组成一个体系,以n1、n2分别表示二者的量子数(声子数),以、a1、、a2表示量子数升、降算符(即两类声子的产生、湮没算符),和表示粒子数算符.粒子数表象中的归一化本征态记为|n1n2〉.令
,
(σ为Pauli矩阵)
即令
(1)
再令
(2)
试证明这样定义的算符满足角动量算符的全部代数性质,并求出J2、Jz的本征值和共同本征态.
第5题
对于三维各向同性谐振子,径向方程,势函数
已取。上式可改写成
D(l)χl(r)=λlχl(r) (9.10)
其中,λl=-2E.令
,
,
试证明
A-(l+1)A+(l)=D(l)+(2l+3),
A+(l-1)A-(l)=D(l)+(2l-1),
B-(l+1)B+(l)=D(l)-(2l+3),
B+(l-1)B-(l)=D(l)-(2l-1),
以及
D(l)[A+(l-1)χl-1]=(Al-1+2)[A+(l-1)χl-1],
D(l)[A-(l+1)χl+1]=(Al+1-2)[A-(l+1)χl+1],
D(l)[B+(l-1)χl-1]=(Al-1-2)[B+(l-1)χl-1],
D(l)[B-(l+1)χl+1]=(λl+1+2)[B-(l+1)χl+1].
由此阐明算符A+(A-)的作用是使角动量量子数l增(减)1,能量减(增)1,而B+(B-)的作用是使角动量量子数l增(减)1,但能量增(减)1.
第6题
考虑一个玻色子体系,其单粒子态记为α、β、…,各态中粒子数记为nα,nβ,…(nα,nβ=0,1,2,…),粒子数表象中归一化的本征态记为|nα…〉.以和aα表示α态的产生和湮没算符(即粒子数nα的升、降算符),aα和满足对易式
(1)
(a)证明
(b)令,证明疗.
(c)证明
(4)
第8题
一维谐振子的Hamilton算符为
(1)
x与p满足基本对易式
[x,p]=xp-px=ih (2)
引入无量纲算符
,(3)
(4)
第10题
三维各向同性谐振子,总能量算符为
(1)
对于(H,l2,lz)的共同本征态
(2)
计算〈r-2〉,进而计算离心势能和径向动能平均值.
第11题
在粒子数表象中,谐振子基态|0〉满足性质
a|0〉=0,
其中,为湮灭算符.试利用此性质求出基态在动量表象中的波函数显示表式〈p|0〉.