设无穷积分为收敛,又设ψ(x)为一单调的有界函数.则积分亦必收敛. [阿倍尔]
设无穷积分为收敛,又设ψ(x)为一单调的有界函数.则积分亦必收敛. [阿倍尔]
设无穷积分为收敛,又设ψ(x)为一单调的有界函数.则积分亦必收敛. [阿倍尔]
第1题
设∑ak为一正项发散级数,.又设f(x)为一正值单调下降函数,试证
(i)
(ii)
(iii)一同收敛与一同发散.
第2题
设于n增大时正值连续的函数列vn(x)为单调地下降(0<x<1).又设.于是当∑an收敛时即有
第3题
设f(x)为正值单调下降函数(x≥0),又a>1.求证∑f(k)与∑akf(ak)两者必同时收敛同时发散.
第5题
设H为Hilbert空间,{un}为H的无穷标准正交基,对n=1,2,…,设Fn=span{u1,u2,…un}。若Pn为从H到F,,的正交投影.求证:
(a)任每一x∈H有Pnx→x。
(b)‖Pn-I‖不收敛到0。
第6题
设g(x)于x>0时为单调增函数,且
又设γ为一正数而下列的极限
在间隔1-γ≤α≤1+γ内存在且连续(即f(α)为一连续函数).于是我们有
第7题
试证萨比洛的弱“陶贝尔型”定理可被扩充成如下的形式:设α>0.又设φ(t)为一正值单调上升函数并满足关系:
此处x→∞系经过这样的实数序列而使上式中的Stieltjes积分恒有意义,于是必有二正常数β1及β2使当x甚大时常有:
β1xα≤φ(x)≤β2xα,其中β1决不可能大于1/α,而β2决不可能小于1/α.
第8题
设函数α(x),φ(x)≠0定义在0≤x<∞内而适合下列条件:
(1)在每一有限间隔0≤x≤t上α(x),φ(x)都是有界变差函数.
(2)α(x)及φ(x)没有相同的不连续点
(3)当t→∞时,Vφ(t)=V0t[φ]→∞,于是无穷积分收敛的必要条件是
第9题
(杨氏不等式)设φ(0)=0,φ(x)为单调上升的连续函数(x≥0).又设ψ(x)为φ(x)的反函数.并设a≥0,b≥0.则有下列不等式
其中之等号仅于b=φ(a)时成立.[W.H.杨]
第10题
设a1≥a2≥…≥an≥0,f(0)=0,f'(0)≥0.又设f'(x)为单调上升的连续函数,则有下列不等式
[倍尔门]