若f(x)为Lebesgue可积函数,则()A、f可测B、|f|可积C、f^2可积D、|f|<∞、a、e、
若f(x)为Lebesgue可积函数,则()
A、f可测
B、|f|可积
C、f^2可积
D、|f|<∞、a、e、
若f(x)为Lebesgue可积函数,则()
A、f可测
B、|f|可积
C、f^2可积
D、|f|<∞、a、e、
第1题
证明关于Bochner积分的Lebesgue控制收敛定理:设X为上赋范空间,,是完备的σ-有限测度空间,{xn(t)}为Ω上取值于X的Bochner可积函数列,几乎处处收敛于x(t),且存在Lebesgue可积函数F(t)使
‖xn(t)‖≤F(t)a.e.,.则x(t)是Bochner可积的,且.
第2题
设a≤t0≤b,函数g:[a,b]→是Lebesgue可积的.设G=G(t,x):[a,b]×使
截口G:连续,截口Gx:[a,b]→Lebesgue可测,且|G(t,x)|≤g(t).证明存在连续映射f:[a,b]→使f(t)=x0+G(s,f(s))ds,t∈[a,b].
第3题
设f是实的Lebesgue可测函数,以s,t为周期(满足x∈,f(x±l)=f(x)的正数l称为f的周期),且s/t是无理数.证明存在常数d使f(x)=da.e.,但f不必是常数.
第5题
设f是上的实函数,对每个x,fx是Lebesgue可测的,对每个y,fy是连续的.又设g:是Lebesgue可测的,且令h(y)=f(g(y),y).证明h在上Lebesgue可测.
第6题
试证明:
设f(x),g(x)在[0,∞)上局部可积,且有
(0<t<+∞).
若φ(x)是在[0,∞)上的非负递减函数,且f·φ∈L([0,∞)),g·φ∈L([0,∞)),则
.
第7题
(复合积求和公式)设f(x)为对于x=0,1,2,…,m有定义的任意函数,则有下列公式
又若f(x)为-k次多项式,则得
第8题
设E是中的稠密集(),f是上的实函数,使得对每个x∈E,截口fx是Lebesgue可测的,且对几乎所有的y∈,截口fy是连续的.证明f在上是Lebesgue可测的.